マクスウェルの応力テンソル
マクスウェルの応力テンソル（マクスウェルのおうりょくテンソル、英: Maxwell stress tensor）とは、電磁場の応力テンソルである。
マクスウェル応力は電磁場の運動量の流れの密度を表す。
マクスウェル応力 T は
[math]\mathrm{T} \equiv \left( \boldsymbol{D}\otimes\boldsymbol{E} -\mathrm{I} \int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{E} \right) +\left( \boldsymbol{B}\otimes\boldsymbol{H} -\mathrm{I} \int\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{H} \right) [/math]
で定義される。 真空中においては
[math]\mathrm{T} = \epsilon_0 \left( \boldsymbol{E}\otimes\boldsymbol{E} -\mathrm{I}\, \frac{\boldsymbol{E}^2}{2} \right) +\frac{1}{\mu_0} \left( \boldsymbol{B}\otimes\boldsymbol{B} -\mathrm{I}\, \frac{\boldsymbol{B}^2}{2} \right) [/math]
となる。
概要
マクスウェル応力の電場に関する部分の発散は
[math]\begin{align} \nabla\cdot\mathrm{T}_\text{e} &= \partial_i(D_i\boldsymbol{E}) -D_i\nabla E_i \\ &= (\partial_iD_i)\boldsymbol{E} +D_i\partial_i\boldsymbol{E} -D_i\nabla E_i \\ &= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E} +(\boldsymbol{D}\cdot\nabla_E)\boldsymbol{E} -\nabla_E (\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{E}) \\ &= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E} -\boldsymbol{D}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) \\ \end{align}[/math]
となる。 ここでベクトル三重積の公式
[math]\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}) =\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}) -(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}[/math]
を用いている。また、ナブラの添え字 E は E に作用する（D に作用しない）ことを明示している。 磁場の部分も考えて、マクスウェルの方程式を用いれば
[math]\begin{align} \nabla\cdot\mathrm{T} &= (\nabla\cdot\boldsymbol{D})\boldsymbol{E} -\boldsymbol{D}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) +(\nabla\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{H} -\boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{H}) \\ &= \rho\boldsymbol{E} +\boldsymbol{D}\times\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} -\boldsymbol{B}\times\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} -\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{j} \\ &= \frac{\partial(\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})}{\partial t} +\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B} \\ \end{align}[/math]
となる。 これを体積 V で積分すると、発散定理を用いて
[math]\oint_{\partial V}d\boldsymbol{S}\cdot\mathrm{T} =\frac{\partial}{\partial t}\int_V (\boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B})dV +\int_V (\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B})dV[/math]
となる。 左辺は表面から流入する運動量を意味する。右辺第二項は分布電荷に作用するローレンツ力であり、体積内の分布電荷の運動量の時間変化を意味する。 従って、右辺第一項は電磁場の運動量の時間変化と解釈され、
[math]\boldsymbol{g} = \boldsymbol{D}\times\boldsymbol{B}[/math]
は電磁場の運動量密度を表す。
固有値・固有ベクトル
真空中でのマクスウェルの応力テンソルTの固有値λは次式となる。
[math]\{ \lambda \} = \left\{ - \frac{ \epsilon_0 E^2 + B^2 / \mu_0 }{2} ,~ \pm \sqrt{ \left( \frac{ \epsilon_0 E^2 - B^2 / \mu_0 }{2} \right)^2 + \left( \frac{\epsilon_0}{\mu_0} \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{B} \right)^2} \right\} [/math]
また、電場E(または磁場B)のみの場合、固有値λと固有ベクトルvは次式となる。
[math]\{ \lambda \} = \left\{ - \frac{ \epsilon_0 E^2 }{2} ,~ -\frac{ \epsilon_0 E^2 }{2} ,~ +\frac{ \epsilon_0 E^2 }{2} \right\} [/math]
[math]\{ \boldsymbol{v} \} = \left\{ \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{E}_y ,~ -\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{E}_z ,~ \boldsymbol{E} E_x \right\} [/math]