マイスナー方程式

数学におけるマイスナー方程式（マイスナーほうていしき、英: Meissner equation）とは、ヒル微分方程式の特殊例であるような線型常微分方程式で、その周期関数が矩形波で与えられるようなものである 。マイスナー方程式を記述する方法は多く存在する。一つ目は、

[math] \frac{d^2y}{dt^2} + (\alpha^2 + \omega^2 \sgn \cos(t)) = 0 [/math]

あるいは

[math] \frac{d^2y}{dt^2} + ( 1 + r f(t;a,b) ) y = 0 [/math]

である。ここで

[math] f(t;a,b) = -1 + 2 H_a( t \mod (a+b) ) [/math]

であり、[math] H_c(t) [/math] は [math]c[/math] にシフトされたヘビサイド関数である。他には

[math] \frac{d^2y}{dt^2} + \left( 1 + r \frac{\sin( \omega t)}{|\sin(\omega t)|} \right) y = 0 [/math]

などのようにも記述される。マイスナー方程式ははじめ、ある共振問題に関する簡単な問題として研究された。それはまた、進化生物学における共振問題を理解する上でも役に立つ。

マイスナー方程式の時間依存性は区分線型であるため、マシュー函数とは異なり、多くの計算を正確に実行することが出来る。[math] a = b = 1[/math] のとき、そのフロケ指数は二次方程式

[math] \lambda^2 - 2 \lambda \cosh(\sqrt{r}) \cos(\sqrt{r}) + 1 = 0 .[/math]

の根であるが、フロケ行列の行列式は 1 であるため、[math] |\cosh(\sqrt{r}) \cos(\sqrt{r})| \lt 1 [/math] であれば原点は中心であり、そうでない場合はサドルノードとなる。