フェイェール核

数学におけるフェイェール核（フェイェールかく、英: Fejér kernel）は、フーリエ級数に対するチェザロ和を閉じた式で与えるのに用いられる。フェイェール核は非負積分核からなる列であり、その全体は近似単位元を生じる。名称は、ハンガリーの数学者リポート・フェイェール (1880–1959) に因む。

いくつかのフェイェール核を描いたもの

定義

n-番目のフェイェール核 F_n は

[math]F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x)[/math]

で定義される。ただし、

[math]D_k(x)=\sum_{s=-k}^k e^{isx}[/math]

は k-番目のディリクレ核である。これはまた閉じた形で

[math]F_n(x) = \frac{1}{n+1} \left(\frac{\sin \frac{(n+1) x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2[/math]

と（式が定義できる範囲で）書くこともできる^[1]。

フェイェール核の重要な性質は、函数としての正値性 F_n ≥ 0 および、畳み込み作用素 F_n の汎函数としての正値性、すなわち周期 2π の正値函数 f ≥ 0 に対し

[math]0 \le (f*F_n)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y) F_n(x-y)\,dy[/math]

が成立すること、さらに畳み込みに対する近似単位元を与えること、すなわち

[math]f*F_n \to f[/math]

が満たされることである（f は連続、または L^p([−π, π]) に属す任意の函数）。これはヤングの不等式から、0 ≤ p ≤ ∞ なるとき f ∈ L^p([−π, π]) に対して

[math]\|F_n*f \|_{L^p([-\pi, \pi])} \le \|f\|_{L^p([-\pi, \pi])}[/math]

が満たされることからでる。f が連続であるときも同様の評価が得られ、実際に f が連続ならば収斂は一様である。

↑ Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover, 216. ISBN 0-486-45874-1.