オイラーのコマ

力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、英: Euler Top)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。

概要

無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動 など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。 外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、

[math] I_1 \frac{d \omega_1}{dt} = (I_2-I_3) \omega_2 \omega_3 [/math]

[math] I_2 \frac{d \omega_2}{dt} = (I_3-I_1) \omega_3 \omega_1 [/math]

[math] I_3 \frac{d \omega_3}{dt} = (I_1-I_2) \omega_1 \omega_2 [/math]

で与えられる。 但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。 ここで、定数I₁、I₂、I₃ は主慣性モーメントである。

オイラーのコマでは、運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²が系の保存量となる。

[math] \begin{align} E & =\frac{1}{2}(I_1 \omega_1^{\, 2}+I_2 \omega_2^{\, 2}+I_3 \omega_3^{\, 2}) \\ \mathbf{L}^2 & =I_1^{\, 2} \omega_1^{\, 2}+I_2^{\, 2} \omega_2^{\, 2}+I_3^{\,2} \omega_3^{\, 2} \end{align} [/math]

運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω₁, ω₂, ω₃)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。

一般解

オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる。

I₁<I₂<I₃の場合

慣性モーメントにI₁<I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、

[math] \omega_1=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_1(I_3-I_1)}} \operatorname{cn}(\lambda t, k) [/math]

[math] \omega_2=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_2(I_3-I_2)}} \operatorname{sn}(\lambda t, k) [/math]

[math] \omega_3=\sqrt{\frac{\mathbf{L}^2-2E I_1}{I_3(I_3-I_1)}} \operatorname{dn}(\lambda t, k) [/math]

[math] k=\sqrt{\frac{(I_2-I_1)(2E I_3-\mathbf{L}^2)}{(I_3-I_2)(\mathbf{L}^2-2E I_1)}} [/math]

と表される。ここで、λは

[math] \lambda=\sqrt{\frac{(\mathbf{L}^2-2E I_1)(I_3-I_2)}{I_1I_2I_3}} [/math]

で与えられる定数であり、時間tはt=0でω₂=0となるように取り直している。

これらは次の周期T を持つ周期運動である。

[math] T=\frac{4K}{\lambda} [/math]

但し、K=K(k)は第一種完全楕円積分である。

I₁=I₂<I₃の場合

慣性モーメントにI₁=I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解は

[math] \omega_1=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_1(I_3-I_1)}} \cos{(\lambda t)} \, [/math]

[math] \omega_2=\sqrt{\frac{2E I_3-\mathbf{L}^2}{I_1(I_3-I_1)}} \sin{(\lambda t)} \, [/math]

[math] \omega_3=\frac{I_1}{I_3-I_1}\lambda=\operatorname{const.} [/math]

となる。

参考文献

• H. Goldstein，C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics;　瀬川富士、矢野忠、江沢康生 （翻訳）『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』吉岡書店 (2006) ISBN 978-4842703367
• L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics ), Pergamon Press 1969;　広重徹、水戸巌　（翻訳）『力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程』東京図書 (1986) ISBN 978-4489011603

関連項目

• 独楽
• オイラー方程式
• 自由歳差運動