操作

運動エネルギー

テンプレート:古典力学 運動エネルギー(うんどうエネルギー、英語: kinetic energy)は、物体運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語テンプレート:Polytonic(kinesis)に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。

歴史

後述する一般的説明がなされる以前にも、

。ここでv は物体の速さ、h は物体の基準点からの高さ、g重力加速度である。

質点の運動エネルギー

ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量速さの二乗に比例する。 つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は、

[math]K =\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} =\frac{1}{2}mv^2[/math]

で与えられる[注 1]

ニュートンの運動方程式

[math]m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{F}(t)[/math]

と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事 [math]W_{t_0\to t_1} [/math] は、

[math] \begin{align} W_{t_0\to t_1} &= \int_{t_0}^{t_1} \left( \boldsymbol{F}(t) \cdot\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} \right) dt \\ &= \int_{t_0}^{t_1} \left( m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} \cdot \boldsymbol{v}(t) \right) dt \\ &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}m \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} \right) dt \\ &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{dK}{dt}\, dt \\ &= K(t_1) -K(t_0) \end{align} [/math]

となる。 従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい

特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が [math] \boldsymbol{x} [/math] から [math]\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x}[/math] まで、[math]\Delta \boldsymbol{x}[/math] だけ変化したとき、

[math]\frac{1}{2}mv^2(t_1) - \frac{1}{2}mv^2(t_0) = \boldsymbol{F}\cdot\Delta\boldsymbol{x}[/math]

という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。 また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。

[math]v^2(t_1) - v^2(t_0) = 2\boldsymbol{\alpha}\cdot\Delta\boldsymbol{x}.[/math]

回転運動の運動エネルギー

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、慣性モーメント I角速度 ω の2乗に比例する。であるから

[math]K = \frac{1}{2}I \omega^2[/math]

解析力学における運動エネルギー

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー Kポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。

[math]L(q,\dot{q};t)=K(\dot{q})-V(q)[/math]

この際、ラグランジアンの変数一般化座標 [math]q(t)[/math] とその時間微分 [math]\dot{q}(t)[/math]、及び時刻 [math]t[/math] である。 多くの場合、一般化座標として位置 [math]x[/math] や 回転角 [math]\theta[/math] とするので、運動エネルギーは

[math]K=\sum_i \frac{1}{2}m_i{v_i}^2+\sum_j \frac{1}{2}I_i{\omega_j}^2[/math]

となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、

[math]H(q,p;t)=\sum p\dot{q}-L[/math]

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 [math]q(t)[/math] と一般化運動量 [math]p(t)[/math] である。元のラグランジアンでポテンシャルが [math]\dot{q}(t)[/math] に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

[math]p_i(t)=\frac{\partial L}{\partial v_i}=m_iv_i[/math]
[math]l_j(t)=\frac{\partial L}{\partial \omega_j}=I_j\omega_j[/math]

( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは

[math]K=\sum_i\frac{1}{2m_i}{p_i}^2+\sum_j\frac{1}{2I_j}{l_j}^2[/math]

となる。

脚注

  1. v は速度 v の大きさを表す。

参考文献


関連項目