ウィッシャート分布
ウィッシャート分布（ウィッシャートぶんぷ、英: Wishart distribution）は、連続型の確率分布である。
定義と性質
互いに独立な [math]n[/math] 個の [math]p[/math] 変量の確率ベクトル [math]\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dotsc,\boldsymbol{x}_n[/math] が、平均が 0、共分散行列が [math]\boldsymbol{\Sigma}[/math] の多変量正規分布 [math]N(0, \boldsymbol{\Sigma})[/math] にしたがうとき、
- [math]\boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^n\boldsymbol{x}_i\boldsymbol{x}_i'[/math]
は自由度 [math]n[/math] のウィッシャート分布にしたがう。ここで [math]n\ge p[/math] である。ウィッシャート分布は、[math]p, n, \boldsymbol{\Sigma}[/math] をパラメータとして [math]W(\boldsymbol{\Sigma}, p, n)[/math] と表記されることがあり、分布の分布を表すモデルである、と言える。
ウィッシャート分布の確率密度関数は以下の式で定義される。
- [math]f(\boldsymbol{A}) = \frac{|\boldsymbol{A}|^{(n-p-1)/2} \exp \left\{-\dfrac{1}{2} \operatorname{tr} \left( \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{A} \right) \right\}} {2^{pn/2} \pi^{p(p-1)/4} | \boldsymbol{\Sigma} |^{n/2} \prod_{i=1}^p \Gamma \left( \dfrac{n-i+1}{2} \right)} [/math]
[math]\operatorname{tr}[/math] は行列のトレースである。 このとき、期待値は [math]n\boldsymbol{\Sigma}[/math]、分散共分散行列は [math]2n\boldsymbol{\Sigma}\otimes\boldsymbol{\Sigma}[/math] である。
[math]\boldsymbol{A}, \boldsymbol{\Sigma}[/math] の成分をそれぞれ [math]a_{ij}, \sigma_{ij}[/math] と表し、[math]p=1[/math] の場合を考え、[math]a_{11}/\sigma_{11}=\chi^2[/math] と置くと、ウィッシャート分布の確率密度関数は以下の形に表され、ウィッシャート分布がカイ二乗分布を多変量に拡張したものである事が分かる。
- [math]f(a_{11}) = \frac{a_{11}^{n/2-1} \exp \left( -\dfrac{a_{11}}{2 \sigma_{11}} \right)}{2^{n/2} \sigma_{11}^{n/2} \Gamma \left( \dfrac{n}{2} \right)} = \frac{1}{2^{n/2} \Gamma \left( \dfrac{n}{2} \right)} (\chi^2)^{n/2-1} \exp \left( -\frac{\chi^2}{2} \right)[/math]
参考文献
- 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
- B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).