リウヴィル数

リウヴィル数（リウヴィルすう、Liouville number）とは、以下の定義を満たす実数 α のことである：任意の正整数 n に対して、

[math]0\lt \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\lt \frac{1}{q^n}[/math]

を満たす有理数 p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在する。

例えば、

[math]l=\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001\,000000\,000000\,000001\,000000\,000000\,000000\ldots[/math]

はリウヴィル数である。この数は、超越数であることが証明された初めての数である(ジョゼフ・リウヴィル、1844年)。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数の階乗の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、……)。

有理数 α が 0 < |α| < 1 を満たし、整数からなる単調増加列 {a_k}_{k ≥ 1} が a_{k + 1}/a_k → ∞ (k → ∞) を満たすとき、

[math]\sum_{k=1}^\infty\alpha^{a_k}[/math]

はリウヴィル数である。

性質

• リウヴィル数は超越数である（リウヴィルの定理）。
• リウヴィル数はマーラーの分類で U 数に属する。
• 0 でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる。
• リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。

上記の性質より、ほとんど全ての超越数はリウヴィル数ではない。リウヴィル数でないことが知られている数としては以下のようなものが挙げられる。

• 自然対数の底 e 。
• 円周率 π。
• チャンパーノウン定数 0.123456789101112… 。
• 1 でない任意の有理数 r に対する log r 。
• 任意の整数 d ≧ 2 に対する[math]\sum_{n=1}^\infty d^{-n^2}[/math] 。

関連項目

• 超越数

参考文献

• 鹿野, 健 『解析数論』 教育出版、東京、1978年。
• リーベンボイム, P. 『我が数よ、我が友よ 数論への招待』 吾郷孝視訳、共立出版、東京、2003年。