ラグランジュの定理 (群論)
群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である[1]。
実は、任意の群に対し、（選択公理を認めれば）指数を用いて次のような式が成り立つ。
- |G| = |G : H| ⋅ |H|
系
- 有限群 G の任意の元の位数は群 G の位数を割り切る。
証明は、その元で生成される巡回群を考えればよい。
さらに、その特別な場合として素体 Z/pZ の単数群 U(Z/pZ) に上述の系を適用すれば、フェルマーの小定理が導ける。より一般に群 U(Z/nZ) を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。
逆
ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 n の有限群 G と n を割り切る自然数 d が与えられたとき「位数が d である G の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 G = A4 が位数6である部分群をもたないので[3]、（群 G の位数が最小の）反例を与えるからである[4]。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である[5]。つまり位数 n を割り切る素数 p のべきで最大のもの d = np を考えると、位数 np の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に d が np を割り切るならば、位数 d の部分群が存在することもわかる[6]。（コーシーの定理も参照のこと。）
歴史
ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。
脚注
- ↑ Isaacs 2008, Theorem X.8(d).
- ↑ Isaacs 2008, Corollary X.9.
- ↑ この事実は1799年にはすでに知られていた {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}。
- ↑ Isaacs 2008, p. テンプレート:Google books quote.
- ↑ 可解群に対してはホールの定理も参照のこと。
- ↑ Isaacs 2008, Corollary 1.25.
参考文献
- Gallian, Joseph A. (1993), “On the converse of Lagrange's theorem”, Math. Mag. 66, MR 1572926, Zbl 0796.20019
- (2008) Finite Group Theory, Graduate Studies in Mathematics. AMS. DOI:10.1090/gsm/092. ISBN 978-0-8218-4344-4.
関連項目
外部リンク
- Bray, Nicolas. “Lagrange's Group Theorem”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。