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メンガーのスポンジ

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ファイル:Menger.png
メンガーのスポンジのイメージ

メンガーのスポンジとは自己相似フラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元ハウスドルフ次元相似次元)は [math]\frac{\log20}{\log3}(=2.7268\ldots)[/math]次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。 実際、表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその表面積は[math]\tfrac{1}{3}[/math]ずつ増加するため、穴を空ける回数を[math]n[/math]とすると最終的に表面積は[math]\lim_{n \to \infty} \left( \tfrac{4}{3} \right) ^{n}=\infty[/math]と無限大に発散する。

体積

メンガーのスポンジの次元は3より小さいため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は[math]\tfrac{7}{27}[/math]ずつ減少するため、穴を空ける回数を[math]n[/math]とすると最終的に体積は[math]\lim_{n \to \infty} \left( \tfrac{20}{27} \right) ^{n}=0[/math]となり[math]0[/math]に収束する。

関連項目

テンプレート:Fractals