位相的エントロピー
位相的エントロピー(いそうてきエントロピー、英: topological entropy)とは、力学系の不変量であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した。[1]
開被覆による定義
アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。
[math](X, f)[/math]をコンパクト離散力学系とせよ。 すなわち、[math]X[/math]はコンパクト位相空間であり、[math]f \colon X \to X[/math]は同相写像である。
まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。 [math]\alpha[/math]と[math]\beta[/math]を[math]X[/math]の開被覆とせよ。 このとき、[math]\alpha[/math]と[math]\beta[/math]の共通細分[math]\alpha \vee \beta[/math]を
- [math]\alpha \vee \beta := \{ A \cap B \mid A \in \alpha, B \in \beta \}[/math]
により定義する。 また、
- [math]f^{-1}(\alpha) := \{ f^{-1} (A) \mid A \in \alpha \}[/math]
も[math]X[/math]の開被覆である。
さて、位相的エントロピーを定義しよう。
[math]\alpha[/math]を[math]X[/math]の開被覆とせよ。 [math]\alpha[/math]の有限部分被覆の濃度の最小値を、[math]N(\alpha)[/math]とする。 このとき、開被覆[math]\alpha[/math]のエントロピーを
- [math]H(\alpha) := \log_2 N(\alpha)[/math]
により定義する。
また、極限
- [math]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H ( \alpha \vee f^{-1}(\alpha) \vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha) )[/math]
は常に存在する。 この極限値を開被覆[math]\alpha[/math]に関する同相写像[math]f[/math]のエントロピーと呼び、[math]h(f,\alpha)[/math]と表す。
このとき、コンパクト離散力学系[math](X,f)[/math]の位相的エントロピー[math]h(f)[/math]を
- [math]h(f) := \sup_{\alpha} h(f,\alpha)[/math]
により定義する。 ただし、上限は開被覆の全体で考える。
参考文献
- ↑ R.L. Adler, A.G. Konheim, M.H. McAndrew, Topological Entropy, Transactions of the American Mathematical Society 114 (1965) 309-319