位相的エントロピー

位相的エントロピー（いそうてきエントロピー、英: topological entropy）とは、力学系の不変量であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した。

開被覆による定義

アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。

[math](X, f)[/math]をコンパクト離散力学系とせよ。 すなわち、[math]X[/math]はコンパクト位相空間であり、[math]f \colon X \to X[/math]は同相写像である。

まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。 [math]\alpha[/math]と[math]\beta[/math]を[math]X[/math]の開被覆とせよ。 このとき、[math]\alpha[/math]と[math]\beta[/math]の共通細分[math]\alpha \vee \beta[/math]を

[math]\alpha \vee \beta := \{ A \cap B \mid A \in \alpha, B \in \beta \}[/math]

により定義する。 また、

[math]f^{-1}(\alpha) := \{ f^{-1} (A) \mid A \in \alpha \}[/math]

も[math]X[/math]の開被覆である。

さて、位相的エントロピーを定義しよう。

[math]\alpha[/math]を[math]X[/math]の開被覆とせよ。 [math]\alpha[/math]の有限部分被覆の濃度の最小値を、[math]N(\alpha)[/math]とする。 このとき、開被覆[math]\alpha[/math]のエントロピーを

[math]H(\alpha) := \log_2 N(\alpha)[/math]

により定義する。

また、極限

[math]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} H ( \alpha \vee f^{-1}(\alpha) \vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha) )[/math]

は常に存在する。 この極限値を開被覆[math]\alpha[/math]に関する同相写像[math]f[/math]のエントロピーと呼び、[math]h(f,\alpha)[/math]と表す。

このとき、コンパクト離散力学系[math](X,f)[/math]の位相的エントロピー[math]h(f)[/math]を

[math]h(f) := \sup_{\alpha} h(f,\alpha)[/math]

により定義する。 ただし、上限は開被覆の全体で考える。