疎集合
数学の分野における、位相空間内の疎集合(そしゅうごう、英語: nowhere dense set)[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
集合を扱う空間が問題となる。すなわち、ある集合 A はある位相空間 X の部分空間として考えられた場合には疎集合であるが、別の位相空間 Y の部分空間として考えられた場合にはそうはならない、ということが起こりうる。疎集合は、それ自身においては常に稠密である。
疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル(無視可能な集合に関する適正な概念)を形成する。可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない(したがって、疎集合は必ずしもσ-イデアルを形成しない)。そのような合併はやせた集合[* 1]あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。
開と閉
- 疎集合は必ずしも閉ではない(例えば、集合 [math]\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\right\}[/math] は実数空間において疎集合である)。しかし、疎集合はある閉疎集合、すなわちその閉包(上の例に 0 を加えたもの)に含まれる。実際、ある集合が疎集合であることと、その閉包が疎集合であることは必要十分である。
- 閉疎集合の補集合は稠密な開集合であり、したがって、疎集合の補集合は稠密な内部を持つ集合である。
- 開集合の境界は、閉疎集合である。
- すべての閉疎集合は、ある開集合の境界である。
正測度を持つ疎集合
疎集合はあらゆる意味において無視可能(negligible)である必要はない。例えば、X を単位区間 [0,1] としたとき、それはルベーグ測度がゼロの稠密集合(有理数の集合など)を含むだけでなく、正測度を持つ疎集合をも含む。
(カントール集合の変形であるような)一例として、[0,1] からすべての二進分数(既約分数として a/2n の形を持つような分数。ただし a と n は正の整数)とその周りの区間 (a/2n − 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1) を除いたような集合を考える。各 n に対し、多くとも合計 1/2n+1 の区間を除いているため、結局そのような区間を除かれた後に残った疎集合は少なくとも 1/2 の測度(実際は重なる部分の関係で 0.535... を少し超えた値)を持ち、そのため、ある意味で生成空間 [0,1] の大部分を占めていることが分かる。この集合が疎であることは、それが閉であり空であるような内部を持つことから分かる。任意の区間 (a, b) はその集合には含まれない。なぜならば (a, b) に含まれる二進分数は取り除かれているからである。
この方法を一般化することにより、どのような測度も 1 以下であるような疎集合を、単位区間の中に構成することが出来る。
関連項目
注釈
- ↑ 1.0 1.1 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
参考文献
外部リンク
de:Dichte Teilmenge#Nirgends dichte Teilmenge ru:Глоссарий общей топологии#Н