五角数
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五角数(ごかくすう、pentagonal number)とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例:5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)
一般項
1 | 5 | 12 | 22 | |||
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* | ** * * * |
*** ** * * * * * * * |
**** *** * ** * * * * * * * * * * * * |
n番目の五角数を Pn とすると、図より
- P1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1
が成り立つ。よって五角数は
- [math]P_n = P_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \frac{n(3n-1)}{2}[/math]
で与えられる。五角数を小さいものから順に列記すると
- 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … (オンライン整数列大辞典の数列 A326)
となる。
性質
n番目の五角数は3n-1番目の三角数の1/3に等しい。また 1 から n番目までの五角数の相加平均はn番目の三角数に等しい。
五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て合成数である。
五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。
全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。(→多角数定理)
- [math] \frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + ... = 3 \log {3} - \frac{\sqrt {3} \pi}{3} = 1.4820375...[/math]
である[1]。
五角数が三角数であるものは 1, 210, 40755, 7906276[math]\cdots[/math] (オンライン整数列大辞典の数列 A014979)
五角数がハーシャッド数であるものは 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, [math]\cdots[/math] (オンライン整数列大辞典の数列 A242043)
五角数が平方数であるものは 0, 1, 9801, 94109401,[math]\cdots[/math] (オンライン整数列大辞典の数列 A036353)
脚注
関連項目
- 図形数
- 多角数
- 三角数
- 平方数(四角数)
- オイラーの五角数定理
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Pentagonal Number”. MathWorld(英語). Template:Cite webの呼び出しエラー:引数 accessdate は必須です。