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e進法

e 進法とは、記数法の底に自然対数の底(ネイピア数[math]e[/math])を使った記数法である。(実用的ではないが)ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

数を [math]x[/math] ( [math]x\gt 0, x \in \mathbb{R}[/math] )進法で表すとしたとき,
この数一を表すのに [math]x[/math] 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、[math]n[/math] ( [math]n[/math]定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 [math]N(x)[/math] は,

[math]N(x) = nx[/math]

と表せる.
また, [math]x[/math] 進法で表された [math]n[/math] 桁の数の情報量 [math]I[/math] ( [math]I[/math] は定数, [math]I\gt x[/math] )について,

[math]I = x^n \Leftrightarrow n = \log_{x}I = \frac{\ln I}{\ln x}[/math]

従って, [math]I[/math] の情報量を [math]x[/math] 進法の [math]n[/math] 桁で表すのに必要な記憶素子の数 [math]N(x)[/math] は,

[math]N(x) = nx = \ln I \cdot \frac{x}{\ln x}[/math]

ここで,

[math] \begin{cases} N^{\prime}(x) \lt 0 & 0\lt x\lt 1 \\ N^{\prime}(x) \gt 0 &x\gt 1 \end{cases} [/math]

より, [math]N(x)[/math] を最小にする [math]x[/math] の値を求めるには, [math]N(x)[/math]微分係数が0となるような [math]x[/math] の値を求めれば良い.

[math] \begin{align} N^\prime(x) & = \ln I \cdot \left( \frac{x}{\ln x} \right)^\prime \\ & = \ln I \cdot \frac{\ln x - 1}{\left( \ln x \right)^2} \\ \end{align} [/math]

[math]\ln x = 1[/math] のとき,[math]N^\prime(x) = 0[/math] であるので,

[math]x = e[/math]

以上より最も高効率な記数法は [math]e[/math] 進法である.

参考文献

  • 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
  • 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

関連項目