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計量テンソル

計量テンソル(けいりょうテンソル、: metric tensor)は、リーマン幾何学において、空間内の距離角度を定義する、階数rank)が2のテンソルである。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量Riemannian metric)と呼ばれることもある。

ひとたび、ある座標系 xi が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、G として表記され、各成分は gij と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。

a から b までの曲線の長さは、t をパラメータとして、

[math]L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ [/math]

と定義される。2つの接ベクトル(tangent vector[math]U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ [/math][math]V=v^i{\partial\over \partial x^i} \ [/math] のなす角度 θ は、

[math] \cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}} \ [/math]

で与えられる。

ユークリッド計量

2次元のユークリッド計量(平らな空間)では、計量テンソルはクロネッカーのデルタ、または単位行列で与えられる。すなわち

[math]g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dx^1)^2 + (dx^2)^2 [/math]

で与えられ、曲線の長さは良く知られた公式

[math]L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2} \ [/math]

で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る[1]

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

極座標Polar coordinates
[math](x^1, x^2)=(r, \theta) \ [/math]
[math]g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 [/math]
円筒座標Cylindrical coordinates
[math](x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) \ [/math]
[math]g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2 [/math]
球座標Spherical coordinates
[math](x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) \ [/math]
[math]g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (d\phi)^2 [/math]
平らな ミンコフスキー空間flat Minkowski space
[math](x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z) \ [/math]
[math]g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=-(dt)^2 +(dx)^2 +(dy)^2+(dz)^2[/math]

脚注

  1. 高橋康; 柏太郎 『量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補版』 (2版) 講談社サイエンティフィク、2005年、10頁。ISBN 4-06-153252-9