線型無関連

数学において、体 k のある拡大体 [math]\Omega[/math] （例えば万有体）の中での k 上の代数 A, B は次の同値な条件が成り立つときに k 上線型無関連 (linearly disjoint over k) と言われる：

• (i) [math](x, y) \mapsto xy[/math] から誘導される写像 [math]A \otimes_k B \to AB[/math] は単射である。
• (ii) A の任意の k-基底は B 上線型独立なままである。
• (iii) [math]u_i, v_j[/math] が A, B の k-基底であれば、積 [math]u_i v_j[/math] は k 上線型独立である。

[math]\Omega[/math] のすべての部分代数は整域であるから、(i) ならば [math]A \otimes_k B[/math] は整域（特に被約）であることに注意する。

また次が成り立つ： A, B が k 上線型無関連であることと [math]A, B[/math] によってそれぞれ生成される [math]\Omega[/math] の部分体が k 上線型無関連であることは同値である。（cf. 体のテンソル積）

A, B が k 上線型無関連とする。[math]A' \subset A[/math], [math]B' \subset B[/math] が部分代数であれば、[math]A'[/math] と [math]B'[/math] は k 上線型無関連である。逆に、代数 A, B の任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、A, B は線型無関連である（なぜならば条件は元の有限集合しか含まないからである）。

関連項目

• 体のテンソル積

参考文献

• P.M. Cohn (2003). Basic algebra