矩形関数
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矩形関数（くけいかんすう、英: rectangular function）は、単関数の一種で、以下のように定義される関数である[1]。
- [math]\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| \gt \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \mbox{if } |t| \lt \frac{1}{2} \end{cases} [/math]
別の定義では、[math]\mathrm{rect}(\pm \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix})[/math] を 0 か 1 にするか、未定義とする。
別表現
- ヘヴィサイドの階段関数 [math]u(t)[/math] を使って次のように矩形関数を表現することもできる。
- [math]\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - u \left( t - \frac{\tau}{2} \right)\,[/math]
- または、
- [math]\mathrm{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right)\,[/math]
- とも表せる。
- 極限を用いれば、
- [math] \operatorname{rect} (t) = \lim _{n \to \infty} \frac{1}{1 + |2 t| ^n} [/math]
- とも表せる。
性質
- 矩形関数のフーリエ変換は次のようになる。
- [math]\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt =\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(f)\,[/math]
- および、
- [math]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)\,[/math]
- ここで sinc は正規化されたSinc関数である。
- [math]\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t)\,[/math]
- [math]\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2}\,[/math]
- また、その積率母関数は次のようになる。
- [math]M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2}\,[/math]
- ここで、[math]\mathrm{sinh}(t)[/math] は双曲線正弦関数である。
参考文献
- ↑ Earl G. Williams; 吉川茂、西條献児訳 『フーリエ音響学』 シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、8頁。ISBN 4-431-71174-0。