有理曲面

代数幾何学で、有理曲面(rational surface)は射影平面に双有理同値な曲面、すなわち、次元が 2 の有理多様体のことを言う。有理曲面は、複素曲面のエンリケス・小平の分類の中の 10 個の曲面の最も単純なクラスで、最初に研究された曲面であった。

構造

すべての非特異有理曲面は、極小有理曲面を繰り返しブローアップ(blowing up)することにより得られる。極小有理曲面は射影平面と r = 0 もしくは、r ≥ 2 のときのヒルツェブルフ曲面 Σ_r である。

不変量は、多重種数で、全て 0 であり、基本群は自明である。

ホッジダイアモンド:

                1
          0          0
     0        1+n        0
          0          0
                1

ここに n は射影平面に対しては、0 であり、ヒルツェブルフ曲面(Hirzebruch surface)に対しては 1 であり、他の有理曲面に対しては 1 よりも大きくなる。

ピカール群は、奇のユニモジュラー格子(unimodular lattice) I_1,n である。例外は、偶のユニモジュラ格子 II_1,1 のときで、ヒルツェブルフ曲面 Σ_2m である。

カステルヌオボーの定理

グイド・カステルヌオボー(Guido Castelnuovo)は、q と P₂（算術種数と第二多重種数(second plurigenus)）とがともに 0 となるような任意の複素曲面は、有理的であることを証明した。これはエンリケス・小平の分類を使い、有理曲面を特定した。Zariski (1958)では、カステルヌオボーの定理が正の標数の体の上でも成立することを証明した。

カステルヌオボーの定理は、任意の単有理性な複素曲面は有理的であることも示した。何故ならば、複素曲面が単有理的であれば不正則数も多重種数も有理曲面により制限されることから、全てゼロとなり、単有理的な曲面は有理的となるからである。次元が 3 もしくはそれ以上の単有理的な複素多様体のほとんどは有理的ではない。標数が p > 0 のとき、Zariski (1958)は単有理的な曲面（ザリスキー曲面(Zariski surface)）で有理的ではない例を見つけた。

当時、q も P₁ も両方ともゼロとなる複素曲面が有理的であることは明らかではなかったが、フェデリゴ・エンリケス(Federigo Enriques)によって反例であるエンリケス曲面が発見された。

有理曲面の例

• ボロディガ曲面(Bordiga surface): 一般の位置にある 10 個の点を通る 4 次曲面により定義される P⁴ へ埋め込まれた次数 6 の射影平面
• シャテレー曲面(Châtelet surface)
• コーブル曲面(Coble surface)
• 3次曲面(Cubic surface) 非特異な 3次曲面は、6個の点でプローアップした射影平面に同型で、ファノ曲面である。名前を持つ例は、フェルマーの3次曲面(Fermat cubic)、ケーレーの3次曲面(Cayley cubic surface)、クレブシュの3次曲面(Clebsch diagonal surface)がある。
• デルペッゾ曲面(del Pezzo surface) （ファノ曲面）
• エネパー曲面(Enneper surface)
• ヒルツェブルフ曲面(Hirzebruch surface) Σ_n
• P¹×P¹ 2本の射影直線の積はヒルツェブルフ曲面 Σ₀ であり、2つの異なる規則性を持つ唯一の曲面である。
• 射影平面
• セグレ曲面(Segre surface) 2つの二次曲面の交叉は、5つの点でブローアップしたシャイ平面に同型
• スタイナー曲面(Steiner surface) 射影平面と双有理同値な P⁴ 内の特異点を持つ曲面
• ホワイト曲面(White surface) ホルディガ曲面の一般化
• ヴェロネーゼ曲面(Veronese surface) 射影平面の P⁵ への埋め込み

参照項目

• 代数曲線のリスト(list of algebraic surfaces)

参考文献

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 
• Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314 
• Zariski, Oscar (1958), “On Castelnuovo's criterion of rationality p_a = P₂ = 0 of an algebraic surface”, Illinois Journal of Mathematics 2: 303–315, ISSN 0019-2082, MR 0099990