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指数分布

指数分布
母数 [math]\lambda (=1/\theta) \gt 0\,[/math]
[math]x\in [0;\infty)[/math]
テンプレート:確率分布/リンク 密度 [math] \lambda e^{-\lambda x} \,[/math]
累積分布関数 [math]1- e^{-\lambda x} \,[/math]
期待値 [math] 1/\lambda \, [/math]
中央値 [math] \frac{1}{\lambda} \ln{2} \,[/math]
最頻値 [math] 0 \,[/math]
分散 [math] 1/\lambda^2 \,[/math]
歪度 [math] 2 \,[/math]
尖度 [math] 6 \,[/math]
エントロピー [math]1-\ln{\lambda} \,[/math]
モーメント母関数 [math](1 - t/\lambda )^{-1} \text{ for }t \lt \lambda \,[/math]
特性関数 [math](1 - i\,t/\lambda )^{-1} \,[/math]
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指数分布(しすうぶんぷ・: exponential distribution)とは、確率論および統計学における連続確率分布の一種である。 或る離散的な事象に対して、ポアソン分布が単位時間当たりの生起確率を示し、指数分布は生起期間の確率を示す[1]

定義

指数分布は、正のパラメータλに対して確率密度関数

[math]f(x; \lambda) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x \lt 0)\end{array}\right.[/math]

で与えられる分布である。このとき、累積分布関数

[math]F(x; \lambda) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x \lt 0)\end{array}\right.[/math]

となる。

尺度母数[math]\theta = 1/\lambda[/math]を用いると、確率密度関数の等価な定義は

[math]f(x; \theta) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} & (x \geq 0) \\ 0 & (x \lt 0)\end{array}\right.[/math]

として与えられる。

性質

期待値・分散

定義より、期待値E(x)および分散V(x)はそれぞれ以下のようになる[2]

[math]E(x) = \frac{1}{\lambda} = \theta, \ \ \ V(x) = \frac{1}{\lambda^2} = \theta^2[/math]

他の分布との関係

指数分布はガンマ分布(アーラン分布)で形状母数を1とした特殊なケースである。また、自由度2のカイ二乗分布[math]\theta = 2[/math]の指数分布と一致する。ワイブル分布における係数m=1とおいた特殊なケースでもある。

ポアソン分布とも密接な関連を持つ。すなわち、単位時間ごとに生起する事象の数がパラメータλのポアソン分布に従うとき、そのような事象の生起間隔はパラメータλの指数分布に従う。

無記憶性

指数分布は、幾何分布と同様に無記憶性(memoryless)と呼ばれる性質を持つ。これは、確率変数X

[math]\forall s, t \gt 0, \ \ P(X \gt s + t | X \gt s) = P(X \gt t)[/math]

なる等式を満たすことをいう。すなわち、時刻sまでに事象が生起しなかったという情報が与えられたとき、その事象がさらにt時間の間生起しない条件付き確率は、(時刻sまで事象が生起しなかったという情報が完全に忘れ去られ、改めてその時点から観測を始めて)t時間の間事象が生起しない確率に一致するという意味である。

上述した確率分布関数の定義より、指数分布に従う確率変数がこの性質を満たすことは容易に示される。逆に、この性質を満たす連続確率分布が指数分布のみであることも証明されている。

脚注

  1. 指数分布とポアソン分布のいけない関係” (日本語). . 2012年1月27日閲覧.
  2. 難波明生 (pdf). 指数分布 (Report). http://www.an.econ.kobe-u.ac.jp/~namba/powerdot/mathstat/3-2-2_print.pdf.  指数分布の平均と分散の導出

関連項目

分類