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四点共円定理

平面上で、直線上にない 3 が与えられているとき、これら 3 点をすべて通るが 1 つ存在し、それはこの 3 点を頂点とする三角形外接円に等しい(c.f.三角形の心)。

ところが、直線上にない 4 点が与えられた場合には、これら 4 点のすべてを通る円が存在する場合と、しない場合がある。平面上の 4 点が 1 つの円周上に乗ることを、共円であるといい、これを角の大きさから判定する方法を四点共円定理とよぶ。

四点共円定理は、注目するの位置関係によって、次の 2 通りの内容を持つ。4 点 A,B,P,Q について考えるとき、

P,Q が、直線 AB の反対側にあるとき。

点 P,Q から、それぞれ線分 AB を見込む 2 つの角 ∠BPA, ∠BQA の和が平角(=180°)に等しければ、4 点 A,B,P,Q は共円である。

これは、定理「内接四角形の対角」の逆にあたる内容である。

P,Q が、直線 AB の同じ側にあるとき。

点 P,Q から、それぞれ線分 AB を見込む 2 つの角 ∠BPA, ∠BQA の大きさが等しければ、4 点 A,B,P,Q は共円である。

これは、円周角の定理「同じ弧を見込む円周角」の逆にあたる内容である。