和集合の公理

和集合の公理(わしゅうごうのこうり、axiom of union)は、ZF公理系を構成する公理の一つで、任意の集合に対し、その要素の要素全体からなる集合の存在を主張するものである。対の公理と合わせることで、任意の二つの集合に対し、それらの要素のみからなる集合(合併集合)の存在が導ける。

定義

任意の集合xに対しある集合yが存在して、任意の集合zに対し、zがyに含まれるならば、そのときに限りzを含むようなxの要素wが存在する。

すなわち形式的には、

[math]\forall x\, \exist y\, \forall z\, [z \in y \iff \exist w\, (z \in w \and w \in x)\,][/math]

と書ける。

性質

公理の意味としては、任意に与えられた集合族の和が再び集合になるこということである。 公理により存在を保証される集合yは、外延性より一意に定まり、[math]\bigcup x[/math]と記される。特にxが二つの元のみからなる集合の場合、すなわちx={a,b}の場合は、[math]\bigcup \{ a,b \}[/math]と書く代わりに、[math]a\cup b[/math]と書く。

参考文献

• ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.