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双対

双対(そうつい、dual, duality

数学全体において現れる一つの構造論的原理である。

(1) 射影幾何学に関して 射影幾何学の定理は,たとえば,パスカルの定理とブリアンションの定理のように,すべて2つ一組になっていて,互いにまったく対称的で,その構造が同じであって,ただ言葉 (双対要素という)を置き換えるだけで,一方から他方が得られる。このような2つの定理の間にある関係を双対性 dualityといい,2つの定理は互いに他の双対になっているという。このような置き換えによって得られる新しい定理あるいは命題を,もとの定理あるいは命題の双対定理あるいは双対命題という。互いに双対な定理は,その一方が真であれば,他方も証明なしに真であるといえる。このことを「双対の原理」という。以上は平面の場合であるが,空間の場合にも,点を平面に,平面を点に置き換えて,双対定理をつくることができる。

パスカルの定理 ブリアンションの定理
円錐曲線に内接する6点形の,向い合った3対の辺が交わる3点は1直線で結ばれる。 円錐曲線に外接する6辺形の,向い合った3対の頂点を結ぶ3直線は1点で交わる。
直線
直線
交わる 結ぶ
結ぶ 交わる

(2) 線形空間について 射影幾何学は,体 K 上のベクトル空間 V の部分空間で表わすことができる。ここで,V から K への線形変換,すなわち V 上の1次形式全体を V * とすると V * もベクトル空間になり,Vn 次元なら V *n 次元になる。このとき,射影幾何の双対の原理は,VV * の部分空間の関係を表わすことになる。 V が無限次元のときは,位相を考えて双対を論じるが,関数解析の中心課題になる。特に,V がヒルベルト空間の場合,それが積分方程式論の基礎となる。

(3) 数学的構造について 同様の関係を一般化して,ある構造の典型 U について,その構造をもった G から U への準同形 G * に構造を考えて,GG * の関係を論じることがある。たとえば,局所コンパクトなアーベル群については,U を絶対値1の複素数の群とした場合が,ポントリャーギンの双対性で,フーリエ変換論を形式化したものになっている。

(4) 束について 論理で G を提示することと,U で表現することと,いわば外延と内包の双対性でもある。これは,論理のブール束の場合であるが,一般に束で順序を逆転させることで双対性が考えられる。射影幾何学も,束と考えれば,この特別な場合になる。

(5) 圏について 順序よりも一般的に,圏論で射の方向を逆転させて双対性を考えることである。このことによって多くの数学の分野の諸結果を包括的に把握できる。



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