剰余の定理
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多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、Remainder theorem）は、多項式 f(x) をモニックな（最高次の係数が1である）二項一次多項式 x - a で割ったときの剰余はf(a) であるという定理。またとくに、f(a) = 0 ならば f(x) が x - a を因数に持つことが従う（因数定理）。
概要
多項式 f(x) を d(x) で割るとき、以下を満たす多項式 q(x), r(x) が一意に存在する：
- [math]f(x) = q(x)d(x) + r(x)\quad \deg r \lt \deg d[/math]
これを多項式における除法の原理と言い、このときの q(x) を商、r(x) を剰余と呼ぶ。また、d(x) を除数あるいは除多項式、f(x) を被除数あるいは被除多項式と呼ぶこともある。
除多項式がモニックな二項一次式 d(x) = x - a であるとき、次数に関する条件 deg(r) < deg(d) は剰余 r(x) が x に関係しないある定数 r であることを意味する。すなわち f(x) は
- [math]f(x) = q(x)(x-a) + r[/math]
と分解され、さらに x = a とおけば x - a = 0 ゆえに f(a) = r なることを知る。
同様に、除多項式 d(x) がモニックとは限らない二項一次式 ax + b であれば
- [math]f(x) = q(x)(ax + b) + r[/math]
なる多項式 q(x) と定数 r が一意に定まり、ax + b = 0 なる x, つまり x = −b / a をあたえれば r = f(−b / a) を得る。