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公倍数

公倍数(こうばいすう)とは、2つ以上の整数に共通な倍数。例えば、[math]2[/math][math]3[/math]の公倍数は-18,-12,-6,0,6,12,18などである。ただし、算数では、倍数に[math]0[/math]を含めないので、公倍数にも[math]0[/math]を含めない。

公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、[math]2[/math][math]3[/math]の最小公倍数は[math]6[/math]である。

与えられた2つ(以上)の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。例えば、[math]4[/math][math]6[/math]の最小公倍数は[math]12[/math]であるが、[math]4 \cdot 6 = 24[/math]である。

一般化

二つの整数[math]m,\ n[/math]公倍数とは、[math]m[/math]の倍数全体の集合[math]m \mathbb{Z} = \{mk|k[/math]は整数全体を動く[math]\}[/math][math]n[/math]の倍数全体の集合[math]n \mathbb{Z} = \{nk|k[/math]は整数全体を動く[math]\}[/math]の集合の共通部分[math]m \mathbb{Z} \cap n \mathbb{Z}[/math]に属する整数のことである。

[math]m \mathbb{Z} \cap n \mathbb{Z}[/math]はある整数[math]c[/math]を用いて[math]c \mathbb{Z} = \{ck|k[/math]は整数全体を動く[math]\}[/math]の形に表すことができる。このような[math]c[/math]は正と負の2つが存在し、正の方を[math]m[/math][math]n[/math]最小公倍数という。これらの概念は[math]m,\ n[/math]が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。

この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般のでは、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。

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