五角形

正五角形

五角形（ごかくけい、ごかっけい、英: pentagon）は、5つの頂点と辺を持つ多角形の総称。

正五角形

正五角形は、各辺の長さが等しく、内角も108°（中心角は72°）と一定な五角形である。辺の長さを a とすると

面積

[math]A = \frac{5a^2}{4}\cot\frac{\pi}{5} = \frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2[/math]

内接円の半径

[math]r = \frac{a}{2}\cot\frac\pi{5}[/math]

外接円の半径

[math]R = \frac{a}{2}\csc\frac\pi{5}=\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}a[/math]

正五角形の作図

ファイル:Regular Pentagon Inscribed in a Circle 240px.gif

定規とコンパスによる作図例

正五角形(regular pentagon)は定規とコンパスによる作図が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。

(1)	(2)	(3)	(4)
(1)	(2)	(3)	(4)

1. 直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの垂直二等分線、およびOAの垂直二等分線を作図する。
2. OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまで弧を描画する。弧とABが交わる点をEとする。
3. DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
4. 同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。

定理

ファイル:Pentagram in pentagon.svg

正五角形の対角線（五芒星）

• 正五角形の一辺と対角線との比は、黄金比に等しい。
• 正五角形の交わる対角線は、互いに他を黄金比に分ける。
• 対角線の長さが互いに全て等しい正多角形は、正五角形と長方形(正方形)のみである。

関連項目

• 平面充填

参考文献

• 高木貞治『数学小景』岩波書店〈岩波現代文庫〉、2002年。ISBN 4006000812
• 「日研」新聞編集委員会 編『茨城108景をめぐる』川崎松濤 監修、筑波書林、平成3年9月20日、219pp.