ヴォイタ予想

数学では、ヴォイタ予想(Vojta's conjecture)は、テンプレート:Harvsにより導入された、有限体上の代数多様体の点の高さについての予想である。予想は、ディオファントス近似と複素解析のネヴァンリンナ理論(Nevanlinna theory)（値分布論）の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

予想の記述

[math]F[/math] を数体とし、[math]X/F[/math] 非特異代数多様体、[math]D[/math] を [math]X[/math] 上の悪くとも正規交叉を持つ有効な因子、[math]H[/math] を [math]X[/math] の上の豊富な因子、[math]K_X[/math] を [math]X[/math] の標準因子とする。[math]h_H[/math] と [math]h_{K_X}[/math] をヴェイユの高さ函数を選び、[math]F[/math] 上の各々の絶対値 [math]v[/math] に対し、局所高さ函数を [math]\lambda_{D,v}[/math] とする。[math]F[/math] の絶対値 [math]S[/math] の有限集合を固定し、[math]\epsilon\gt 0[/math] とすると、上記の選択に依存しない定数 [math]C[/math] と空でないザリスキー開集合 [math]U\subseteq X[/math] が存在し、全ての [math]P\in U(F)[/math] に対し、

[math] \sum_{v\in S} \lambda_{D,v}(P) + h_{K_X}(P) \le \epsilon h_H(P) + C[/math]

を満たす。

例

１、 [math]X=\mathbb{P}^N[/math] とすると、[math]K_X\sim -(N+1)H[/math] であるので、ヴォイタ予想からは、すべての[math]P\in U(F)[/math] に対し、

[math] \sum_{v\in S} \lambda_{D,v}(P) \le (N+1+\epsilon) h_H(P) + C[/math]

であることが分かる。

２、 [math]X[/math] を、例えば、K3曲面やカラビ・ヤウ多様体のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、[math]D[/math] を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体 [math]X\setminus D[/math] 上の [math]S[/math]-整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。

３、 [math]X[/math] を一般型の多様体、つまり、[math]K_X[/math] が [math]X[/math] のある空ではないザリスキー開集合上で豊富であるとすると、[math]S=\emptyset[/math] に対し、ヴォイタ予想は、[math]X(F)[/math] は [math]X[/math] 上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、ボンビエリ・ラング予想(Bombieri-Lang conjecture)である。

一般化

[math]P[/math] が [math]X(\overline{F})[/math] の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大 [math]F(P)/F[/math] の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ [math]\lambda_{D,v}[/math] が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想には、ABC予想の自然な高次元類似をもたらすバージョンもある。

参考文献

• Vojta, Paul (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lecture Notes in Mathematics, 1239, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0072989, ISBN 978-3-540-17551-3, テンプレート:MR