actions

ルーシェの定理

ルーシェの定理 (: Théorème de Rouché: Rouché's theorem)は、フランスの数学者であるEugène Rouché (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。

定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

定理

[math]D\ [/math]複素平面(ガウス平面)のある単連結開集合(領域)、[math]\partial D[/math] をその境界 (ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする)、[math]K\ [/math][math]D\ [/math]閉包 (= [math]D + \partial D\ [/math]) とし、[math]f(z)\ [/math] および [math]g(z)\ [/math][math]K\ [/math] 上で定数でない正則な複素関数で、[math]\partial D\ [/math]上で、[math]|f(z)| \gt |g(z)| \ [/math] を満たすとすれば、 [math]D\ [/math] 内での [math]f(z)+g(z)\ [/math][math]f(z)\ [/math]零点の個数 (ただし位数nの零点はn個として数える)は一致する。

証明

まず、

[math]\log (f(z)+g(z)) = \log f(z) + \log (1 + g(z)/f(z))\ [/math]

であることに注目する。 [math]f(z)\ [/math] および [math]g(z)\ [/math][math]D\ [/math] で極を持たないので偏角の原理 から [math]f(z)+g(z)\ [/math][math]D\ [/math] 内における零点の個数をnとすれば、

[math] n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d \log (f(z)+g(z))}{dz} dz [/math]
[math] = \frac{1}{2\pi i}\left[\oint_{\partial D} \frac{d \log f(z)}{dz}dz + \oint_{\partial D} \frac{d \log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz \right] [/math]

である。

ここで [math] \omega \colon K \to \mathbb{C}\ [/math] を、[math] \omega(z) = 1 + g(z)/f(z)\ [/math] で定義する。[math]\partial D\ [/math] 上では [math]|f(z)| \gt |g(z)| \ [/math] という条件から、[math]\partial D\ [/math] 上では [math]|f(z)| \gt 0 \ [/math] であり、[math]f(z)\ [/math] および [math]g(z)\ [/math][math]K\ [/math] 上で正則であるから、[math] \omega(z)\ [/math][math]\partial D\ [/math] 上で正則である。従って [math]\omega(z)\ [/math] による [math]\partial D\ [/math] の像を [math]C\ [/math] とすれば、 [math]C\ [/math] も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、

[math] \oint_{\partial D} \frac{d\log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz = \oint_{\partial D} \frac{d\log \omega}{d\omega}\frac{d\omega}{dz}dz = \oint_C \frac{d\log \omega}{d\omega}d\omega [/math]

である。結局この式の値は [math]\log \omega\ [/math][math]C\ [/math] 上のある点を始点として [math]C\ [/math] に沿って一周した場合の増分になるが、[math]\partial D\ [/math] 上では [math]|f(z)| \gt |g(z)| \ [/math] という条件から [math]C\ [/math] 上では [math]Re \ \omega\ [/math] は正であり、 [math]C\ [/math][math]\log \omega\ [/math]分岐点である [math]\omega\ [/math] = 0 を一周しないので、その値は 0 である。従って、

[math] n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log (f(z)+g(z))}{dz} dz = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log f(z)}{dz}dz [/math]

が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。

応用例

代数学の基本定理の証明

[math]f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0[/math]

を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、[math]f(z)\ [/math] が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。

[math]R\ [/math] を正の実数とし、[math]D = \{z \mid |z| \lt R \}\ [/math] と置く。また、

[math]g(z) = a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\ [/math]
[math]h(z) = z^n\ [/math]

と置く。[math]R\ [/math] を十分大きく取れば [math]\partial D\ [/math] 上で [math]|h(z)| \gt |g(z)|\ [/math] が成立するので、 [math]D\ [/math] 内における [math]h(z)\ [/math][math]h(z)+g(z)\ [/math] (= [math]f(z)\ [/math] ) の零点の個数は一致し、 [math]h(z)\ [/math] の形から明らかなように、その値は n となる。

関連項目

参考文献

  • 遠木幸成・阪井章 『関数論』 学術図書出版社、1966年、82-83頁。
  • 松田哲 『複素関数』 岩波書店、1996年、110-111頁。