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リュカ数

リュカ数(りゅかすう、Lucas number)とは、フランス数学者エドゥアール・リュカにちなんで名付けられた数であり、n 番目のリュカ数を Ln で表すと

[math]L_0=2,\ L_1=1, \,[/math]
[math]L_{n+2}=L_n+L_{n+1} \,[/math]

で定義される数列にある項のことである。つまり、初項(最初のリュカ数)を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。

最初の50項

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001(オンライン整数列大辞典の数列 A32

負の番号への拡張

漸化式 Ln+2 = Ln + Ln+1 を全ての整数 n に対して適用すると、n が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ≤ n ≤ 5 に対するリュカ数は次の値になる。

-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11

さらに、一般には L -n = (-1)nLn となる。

数学的性質

リュカ数は、フィボナッチ数と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 Fn との間に多くの関係式があり、例として

[math]L_n = F_{n-1}+F_{n+1}\,[/math]
[math]F_{2n} = L_n F_n\,[/math]
[math]F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}\,[/math]

などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 Ln/Fn は、n が大きくなるにつれて√5 (2.23606798…) に収束する。

フィボナッチ数と同様に、リュカ数も隣接する2項の比 Ln+1/Lnn が大きくなるにつれて黄金比 [math]\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/math] (1.61803398…) に近づく。

n 番目のリュカ数は以下の式で表される。

[math]L_n = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n= \phi^n + (1-\phi)^n = {\phi^n + (-\phi)^{-n}}[/math]

ここで [math]\phi[/math] は黄金比である。

参考文献

関連項目

外部リンク

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