ラウスの定理

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幾何学におけるラウスの定理（ラウスのていり）とは、三角形とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。

この定理はエドワード・ラウスが1896年に書いた Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples の82ページに登場する。

定理

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三角形 ABC の BC 上に D を、CA 上に E を、AB 上に F をとる。 [math]\tfrac{CD}{BD} = x[/math], [math]\tfrac{AE}{CE} = y[/math], [math]\tfrac{BF}{AF} = z[/math] としたとき、三角形 ABC の面積に対する AD, BE, CF の3本の線で囲まれる三角形の面積は以下の式で表される。

[math]\frac{(xyz - 1)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)}.[/math]

一例として、x = y = z = 2 のときには元の面積の1/7の三角形(en)が作られる。xyz = 1 のときはこの式は0となるが、これはチェバの定理の逆が成り立つため3線が1点に集まるからである。

証明

三角形 ABC の面積を 1 とする。三角形 ABD と直線 FRC に対しメネラウスの定理を適用すると以下の式が得られる。

[math]\frac{AF}{FB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DR}{RA} = 1[/math]

これを変形する。

[math]\frac{DR}{RA} = \frac{BF}{FA} \frac{DC}{CB} = \frac{zx}{x+1}[/math]

三角形 ARC の面積は以下のように求まる。

[math]S_{ARC} = \frac{AR}{AD} S_{ADC} = \frac{AR}{AD} \frac{DC}{BC} S_{ABC} = \frac{x}{zx+x+1}[/math]

同様に [math]S_{BPA} = \frac{y}{xy+y+1}[/math]、[math]S_{CQB} = \frac{z}{yz+z+1}[/math] が得られる。

以上から三角形 PQR の面積は以下のように求められる。

[math]\displaystyle S_{PQR} = S_{ABC} - S_{ARC} - S_{BPA} - S_{CQB} [/math]

[math]= 1 - \frac{x}{zx+x+1} - \frac{y}{xy+y+1} - \frac{z}{yz+z+1} [/math]

[math]=\frac{(xyz - 1)^2}{(xz + x + 1)(yx + y + 1)(zy + z + 1)}.[/math]

参考文献

• Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
• H. S. M. コクセター (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. “Routh's Theorem”. MathWorld（英語）.
• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.