ボゴモロフ予想
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数学において、フョードル・ボゴモロフ(Fedor Bogomolov)に因んで名前の付いたボゴモロフ予想(Bogomolov conjecture)とは、次の予想を言う。
C を代数体 K 上定義された種数 g が 2 以上の代数曲線とし、[math]\overline K[/math] を K の代数的閉体とし、C のそのヤコビ多様体 J への埋め込みを固定し、[math]\hat h[/math] で豊富な対称的因子に付随した J 上のネロン・テイトの高さを表す。すると、ある [math]\epsilon \gt 0[/math] が存在し、
- 集合 [math]\{ P \in C(\overline{K}) : \hat{h}(P) \lt \epsilon\}[/math] が有限
となる。[math]\hat h(P)=0[/math] と P が捩れ点であることは同値であるから、ボゴモロフ予想はマーニン・マンフォード予想を一般化した予想となる。元々のボゴモロフ予想は、エマニュエル・ウルモ(Emmanuel Ullmo)と张寿武(Shou-Wu Zhang)により、1998年に証明された。[1] Zhang[2] は、次の一般化された定理を証明した。
A を K 上に定義されたアーベル多様体とし、[math]\hat h[/math] を豊富な対称的因子に付随する A 上のネロン・テイトの高さとする。部分多様体 [math]X\subset A[/math] が捩れ部分多様体(torsion subvariety)であるとは、その部分多様体が捩れ点によりアーベル多様体 A のアーベル部分多様体の変換である場合を言う。X が捩れ部分多様体ではない場合は、ある [math]\epsilon \gt 0[/math] が存在し、
- 集合 [math]\{ P \in X(\overline{K}) : \hat{h}(P) \lt \epsilon\}[/math] は A においてザリスキー稠密(Zariski dense)ではない。
参考文献
- ↑ Ullmo, E. (1998), “Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes”, Annals of Mathematics 147 (1): 167–179, doi:10.2307/120987, Zbl 0934.14013.
- ↑ Zhang, S.-W. (1998), “Equidistribution of small points on abelian varieties”, Annals of Mathematics 147 (1): 159–165, doi:10.2307/120986
- (2013) “Diophantine geometry and analytic spaces”, Tropical and non-Archimedean geometry. Bellairs workshop in number theory, tropical and non-Archimedean geometry, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, May 6–13, 2011, Contemporary Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 161-179. ISBN 978-1-4704-1021-6.