ファルティングスの定理

数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は テンプレート:Harvs により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。

背景

C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。

• g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面である。
• g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell–Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理は捩れ部分群の構造を制限している。）
• g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。

証明

ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデルの理論を含む代数幾何学の多くのツールを使う方法であった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ(Paul Vojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(Enrico Bombieri)が与えた。

結論

1983年のファルティングスの論文は、それ以前に予想されていた多くのステートメントの結果として得られた。

• モーデル予想(Mordell conjecture)：数体上の種数が 1 よりも大きな曲線は有限個の有理点しか持たない。
• シャファレビッチ予想(Shafarevich conjecture)：決められた次元の、決められた数体上の偏極次数を持ち、決められた有限個の座(place)の有限集合の外側では良いリダクション(good reduction)を持つアーベル多様体の同型類は、有限個しか存在しない。
• 同種定理(Isogeny theorem)：同型なテイト加群(Tate module)を（ガロア作用、Q_l-加群として）もつアーベル多様体は同種である。

モーデルの予想をシャファレビッチ予想へ帰着させることは、Parshin (1971) による。ファルティングスの定理の応用の例として、フェルマーの最終定理の弱い形がある。決められた n > 4 に対し、aⁿ + bⁿ = cⁿ には有限個の整数解しか存在しない。なぜなら、n に対し、曲線 xⁿ + yⁿ = 1 は種数が 1 よりも大きいからである。

一般化

モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想(Mordell–Lang conjecture)を証明することになる。

ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想(Bombieri–Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体(pseudo-canonical variety)（すなわち、一般型の多様体）であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ(Paul Vojta)により提示されている。

函数体のモーデル予想は、Manin (1963) と Grauert (1965) により証明された。Coleman (1990) はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。

実効性

ファルティングスの定理は計算可能性を備えていない。ファルティングスの定理の証明に用いられる議論からは、ヤコビ多様体の構造を用いて、有理点の個数に対して、具体的な上からの評価を求めることはできるが、有理点の大きさの上界が得られるわけではない。そのため、この定理を使って有理点をすべて求めることはできない。 モーデル予想の解決に先立って、テンプレート:Harvsはヤコビ多様体の階数が小さいときに、有理点の個数の上界を求める方法を開発し、Coleman (1985)は実際にいくつかの場合に具体的な上界を得ている。さらに場合によってはその方法を使って有理点をすべて決定することができる。たとえば

[math]y^2=x(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)[/math]

の有理点は (x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (5, 0), (6, 0), (3, ±6), (10, ±120) のみであることがGrant (1994)により示されている。

参考文献

• Bombieri, Enrico (1990). “The Mordell conjecture revisited”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4): 615–640. 
• Chabauty, C. (1941a). “Sur les points rationels des courbes algébriques de genre supérieur à unité”. C. R. Acad. Sei. Paris 212: 882–884. 
• Chabauty, C. (1941b). “Sur les points rationels des variétés algebriques dont l’irregularité est supérieur à la dimension”. C. R. Acad. Sci. Paris 212: 1022–1024. 
• Coleman, Robert F. (1990). “Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields”. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584. MR 1096426. http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001:1990:36::560&id=&id2=&id3=テンプレート:Inconsistent citations 
• Coleman, Robert F. (1985). “Effective Chabauty”. Duke Math. J. 52: 765–770. doi:10.1215/S0012-7094-85-05240-8. MR 808103. 
• Cornell, Gary (1986). Arithmetic geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-96311-1.  → Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). “Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”. Inventiones Mathematicae 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. 
• Grant, David (1994). “A curve for which Coleman's effective Chabauty bound is sharp”. Proc. Amer. Math. Soc. 122: 317–319. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1242084-4. 
• Grauert, Hans (1965). “Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper”. Publications Mathématiques de l'IHÉS (25): 131–149. ISSN 1618-1913. MR 0222087. http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0テンプレート:Inconsistent citations 
• Hindry, Marc (2000). Diophantine geometry, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98981-1.  → Gives Vojta's proof of Falting's Theorem.
• S. Lang (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag, 101–122. ISBN 3-540-61223-8. 
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• Mordell, Louis J. (1922). “On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179–192 
• (1971) “Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne”, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1. Gauthier-Villars, 467–471. 
• テンプレート:Eom