ノイマン級数

関数解析学において、ノイマン級数（ノイマンきゅうすう、英: Neumann series）とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。

定義

A をバナッハ空間X での有界な線形作用素とする（A ∈ B(X ））。このとき、A の作用素ノルム||A ||が||A ||<1を満たすならば、恒等作用素I との差で与えられるI -A は1対1で(I -A )^-1が有界作用素として存在するとともに、

[math] \begin{align} (I-A)^{-1} & = I+A+A^2+A^3+ \cdots \\ & = \sum_{n=0}^{\infty}A^n \end{align} [/math]

が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは

[math] ||(I-A)^{-1}|| \leq \frac{1}{1-||A||} [/math]

と評価される。

これは、|x |<1なるx　∈ Cについての無限級数

[math] \frac{1}{1-x}=1+x + x^2 + x^3 + \cdots [/math]

の作用素への拡張になっている。

特にz ∈ Cと有界作用素A について、|z |>||A ||であれば、レゾルベント作用素(z I -A )^-1が存在し、

[math] (z I-A)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+1} } A^n [/math]

及び

[math] ||(z I-A)^{-1}|| \leq \frac{1}{|z|} \frac{1}{ 1-\frac{||A||}{|z|} } [/math]

が成り立つ。

逐次近似との関係

バナッハ空間X の元u、v と線形作用素A　で与えられる方程式

[math] u=Au+v \, [/math]

を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は

[math](I-A)u=v \,[/math]

と変形できることから、逆作用素(I -A )^-1が存在し、それが求まれば、問題は解ける。 一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、

[math] \begin{align} u & = A(Au+v)+v \\ & = A^2(Au+v)+Av+v \\ &= v+ Av + \cdots + A^nv +A^{n+1}u \end{align} [/math]

となる。従って、Aⁿ⁺¹u の項が無視できるとすると

[math]u_n:=\sum_{i=0}^n A^i v[/math]

で定義されるu_nが逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n→∞で逐次近似解u_nが真の解となり、

[math]u = (I-A)^{-1}v = v +Av + A^2v + \cdots[/math]

となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解u_nの誤差評価を行うこともでき、

[math] ||u-u_n|| \leq \sum_{i=n+1}^{\infty} ||A||^i \cdot||v|| = \frac{||A||^{n+1} }{1-||A||} ||v|| [/math]

である。

積分方程式への応用

バナッハ空間X を有限区間[a,b ]上の連続関数からなる関数空間C([a, b ])とし、 K (x, y )を[a, b ]×[a, b ]で定義された連続関数、f (x )を[a, b ]上の連続関数（f ∈ C([a, b ])）とする。このとき、C([a, b ])）において、フレドホルム型積分方程式

[math] u(x)- \lambda \int_a^b K(x,y)u(y)dy =f(x) [/math]

を考える。ここで、

[math] Ku:= \int_a^b K(x,y)u(y)dy [/math]

としたときに、|λ|・||K || < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、

[math] \begin{align} u &= (1- \lambda K)^{-1} f \\ &=f + \lambda K f + \lambda^2 K^2 f + \cdots \\ &= f(x) + \lambda \int_a^b K(x,y) f(y)dy + \lambda^2 \int_a^b \biggl ( \int_a^b K(x,y)K(z,y)dz \biggr ) f(y)dy + \cdots \end{align} [/math]

と表すことができる。

参考文献

• 藤田宏、伊藤清三、 黒田成俊 『関数解析 (岩波基礎数学選書)』岩波書店（1991）ISBN 978-4000078108
• 黒田成俊 『関数解析(共立数学講座 (15))』 共立出版（1980）ISBN 978-4320011069

関連項目

• 関数解析学 - 線形作用素
• 反復法 (数値計算)