トラクトリックス

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トラクトリックス

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カテナリーの伸開線としてのトラクトリックス

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トラクトリックスの縮閉線としてのカテナリー

トラクトリックス (tractrix) は直交座標の方程式

[math]\begin{align} x &= a\log \frac{a \pm \sqrt{a^2 - y^2}}{y} \mp \sqrt{a^2 - y^2} \\ &= a\,{\rm cosh}^{-1}\left(\frac{a}{y}\right) \mp \sqrt{a^2 - y^2} \end{align}[/math]

によって表される曲線である。牽引線（けんいんせん）、引弧線、犬曲線、追跡線などとも呼ばれる。媒介変数表示では

[math]x=a\left(\log \tan \frac{\theta}{2} + \cos \theta \right),\; y=a\sin \theta[/math]

あるいは、[math]\vartheta=\theta +\frac{\pi}{2}[/math] として

[math]x=a\left(\operatorname{gd}^{-1}\vartheta - \sin \vartheta \right),\; y=a\cos \vartheta[/math]

と表される。ただし、[math]\operatorname{gd}^{-1}\vartheta[/math] はグーデルマン関数の逆関数である。 さらに、[math]t=\operatorname{gd}^{-1}\vartheta[/math] とおくことにより

[math]x=a\left(t - \tanh t\right),\; y=a\operatorname{sech} t[/math]

と表すこともできる。

カテナリーの伸開線に相当し、y軸に対して線対称であり、x軸を漸近線に持つ。尖点は (0, a)。