クリロフ部分空間

線型代数において、n次正方行列Aとn次ベクトルによって生成されるr次クリロフ部分空間は、 Aのr累乗とbによる像の線型部分空間である。

[math]\mathcal{K}_r(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}. \, [/math]

ロシアの応用数学者で海軍技術者であったアレクセイ・クリロフにちなんで名づけられた。

大規模疎行列の1個または少数の固有値の計算や、大規模な連立一次方程式の求解に用いられる現代的な反復法では、行列-行列積を計算する代わりに行列をベクトルに作用させ、得られるベクトルを利用する。bを初期ベクトルとすると、次に[math]A b[/math]を計算し、さらにAを掛けて[math]A^2 b[/math]を得るといった方法を取る。このようなアルゴリズムを総称して、クリロフ部分空間法と呼ぶ。これは数値線型代数において最も成功した手法の一つである。

ベクトル列は急速に線型従属に近づくため、クリロフ部分空間を用いる方法には、エルミート行列に対してはランチョス法、非エルミート行列に対してはアーノルディ法などの直交化手法が含まれることが多い。

主なクリロフ部分空間法として、アーノルディ法、ランチョス法、GMRES法（generalized minimum residual）、 BiCGSTAB法 （stabilized biconjugate gradient）、QMR法 (quasi minimal residual)、 TFQMR法 (transpose-free QMR)、MINRES法 (minimal residual) などが知られている。

参考文献

• Saad, Yousef (2003). Iterative methods for sparse linear systems, 2nd ed., SIAM. ISBN 0898715342. OCLC 51266114.