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ガウスの微分方程式

ガウスの微分方程式(-びぶんほうていしき)あるいは超幾何微分方程式(ちょうきかびぶんほうていしき)とはガウスにその名をちなむ、以下の形をした常微分方程式である。

[math]\displaystyle x(1-x)y''+(\gamma-(\alpha+\beta+1)x)y'-\alpha\beta y=0 [/math]

ここで α, β, γ は複素定数である。

性質

この微分方程式は [math]\displaystyle x=0,1,\infty[/math] において確定特異点を持ち、 それ以外に特異点を持たない。 また各特異点での解はガウスの超幾何関数 [math]\displaystyle F(\alpha,\beta,\gamma ; x) [/math] を使って以下の様に表せる事が知られている。

  • x = 0 での解
    • [math]\displaystyle y_{1,0}(x) = F( \alpha, \beta, \gamma ; x)[/math]
    • [math]\displaystyle y_{2,0}(x) = x^{1-\gamma}F(\alpha-\gamma+1,\beta-\gamma+1,2-\gamma ;x)[/math]
  • x = 1 での解
    • [math]\displaystyle y_{1,1}(x) = F(\alpha,\beta,\alpha+\beta-\gamma+1 ; 1-x)[/math]
    • [math]\displaystyle y_{2,1}(x) = (1-x)^{\gamma-\alpha-\beta}F(\gamma-\alpha,\gamma-\beta,\gamma-\alpha-\beta+1 ; 1-x)[/math]
  • x = ∞ での解
    • [math]\displaystyle y_{1,\infty}(x) = x^{-\alpha}F(\alpha,\alpha+1-\gamma,\alpha-\beta+1 ; 1/x )[/math]
    • [math]\displaystyle y_{2,\infty}(x) = x^{-\beta}F(\beta,\beta+1-\gamma,\beta-\alpha+1 ; 1/x )[/math]

関連項目


en:Hypergeometric differential equation