アルバネーゼ多様体
数学において、ジアコモ・アルバネーゼ(Giacomo Albanese)にちなんで名づけられたアルバネーゼ多様体(Albanese variety) A(V) は、曲線のヤコビ多様体の一般化で、多様体 V 上に与えられた点と A の恒等元への写像を取ることにより多様体 V により生成されるアーベル多様体である。言い換えると、多様体 V からアルバネーゼ多様体 A(V) への射が存在し、V からアーベル多様体への任意の射（与えられた点を恒等元としてとる）は A(V) を通して一意に分解する。複素多様体に対しても}同様な方法で、V からトーラス A(V) への射としてアルバネーゼ多様体を定義することができBlanchard (1956)、トーラスへの任意の射はこの写像を通して一意に分解する。（この場合は解析的多様体の場合であり、代数的である必要はない。）
コンパクトなケーラー多様体に対し、アルバネーゼ多様体の次元は、ホッジ数 h1,0 である。このホッジ数は、V 上の第一種微分(differentials of the first kind)の空間の次元であり、曲面に対してはこの次元を不正則数と呼ぶ。微分形式のことばでは、V 上の任意の正則 1-形式は、アルバネーゼ多様体 Alb(V) 上の恒等元での正則余接空間(cotangent space)からくる変換不変 1-形式の引き戻し(pullback)である。まさに、曲線の場合のように、V の基点(base point)を選択する（そこから積分する）ことにより、アルバネーゼ写像(Albanese morphism)
- [math] V \to \operatorname{Alb}(V) [/math]
が引き戻された 1-形式に沿って定義される。この射はアルバネーゼ多様体上の変換を同一視すると一意である。
正標数の体上の多様体に対しては、アルバネーゼ多様体の次元は、ホッジ数 h1,0 と h0,1 （この値は等しい値である必要はない）よりも小さくなるかもしれない。このためには、アルバネーゼ多様体は、恒等元での接空間であり [math] H^1(X, O_X)[/math] で与えられるピカール多様体の双対であることに注意する。この [math]\dim X \leq h^{1,0}[/math] は参考文献の中の井草準一の結果である。
ピカール多様体との関係
アルバネーゼ多様体は、ピカール多様体の双対(dual)である（V の可逆層を分類するピカールスキームの零点の連結成分）。
- [math]\operatorname{Alb}\,V = (\operatorname{Pic}_0\,V)^\vee. [/math]
代数曲線に対し、アーベル・ヤコビの定理は、アルバネーゼ多様体とピカール多様体が同型であることを意味している。
参照項目
- 中間ヤコビ多様体(Intermediate Jacobian)
- アルバネーゼスキーム(Albanese scheme)
参考文献
- Blanchard, André (1956), “Sur les variétés analytiques complexes”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série 73: 157–202, ISSN 0012-9593, MR 0087184
- P. Griffiths; J. Harris (1994), Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience, pp. 331, 552, ISBN 0-471-05059-8
- テンプレート:Eom
- Igusa, Jun-ichi (1955), A fundamental inequality in the theory of Picard varieties