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| − | [[数学]]において'''算術幾何平均'''（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して[[算術平均]]（相加平均）と[[幾何平均]]（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。
| + | '''算術幾何平均'''（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean） |
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| − | == 定義 ==
| + | 正の 2 数 <i>a</i>, <i>b</i> に対し, <i>a</i><sub>0</sub>=<i>a</i>, <i>b</i><sub>0</sub>=<i>b</i>, 以下 <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub>=(<i>a</i><sub><i>n</i></sub>+<i>b</i><sub><i>n</i></sub>)/2, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub>=√(<i>a</i><sub><i>n</i></sub><i>b</i><sub><i>n</i></sub>) としたときの共通極限値. 楕円積分と関連がある. |
| − | <math>|\arg(b/a)|\ne\pi</math> である複素数 <math>a,\ b</math> について | |
| − | {{Indent|<math>a_{0}=a, \quad b_{0}=b</math><br />
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| − | <math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, \quad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\quad(n\ge0)</math>}} | |
| − | と定めれば数列 <math>\{a_n\}</math> と <math>\{b_n\}</math> は同じ値に収束する。その極限を <math>a,\ b</math> の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 <math>b_n</math> の根号の符号は算術平均 <math>a_n</math> の側にあるものを選ぶものとする。
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| − | {{Indent|<math>M(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n</math>}}
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| − | <math>\real(b/a)>0</math> の場合、算術幾何平均は次式の[[楕円積分]]で表される。 | |
| − | {{Indent|<math>M(a,b)=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}}</math>}}
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| − | <math>\real(b/a)=0</math> の場合<!-- ←これで正しいか？ -->は、次式になる。 | |
| − | {{Indent|<math>\begin{align}M(a,b)
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| − | &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\cos^2\theta+ab\sin^2\theta}}\\
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| − | &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\sin^2\theta}}\\
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| − | &=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\left(\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{1-\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\sin^2\theta}}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | == 概要 ==
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | <math>a,\ b</math> が正の実数である場合、
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| − | {{Indent|<math> | |
| − | a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \ge \sqrt{a_n\cdot b_n} = b_{n+1}
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| − | </math>}}
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| − | が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、
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| − | {{Indent|<math>a_n \ge a_{n+1},</math><br />
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| − | <math>b_{n+1} \ge b_n </math>}}
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| − | となることから
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| − | {{Indent|<math>a_0 \ge a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge b_2 \ge b_1 \ge b_0</math>}}
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| − | という関係が成り立っている。{''a''<sub>''n''</sub>} は下に有界な単調減少数列であり、{''b''<sub>''n''</sub>} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{''a''<sub>''n''</sub>} の極限を α とし、{''b''<sub>''n''</sub>} の極限を β とすると定義の漸化式から
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| − | {{Indent|<math>\alpha = \frac{\alpha + \beta}{2}</math><br />
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| − | <math>\beta = \sqrt{\alpha \beta}</math>}}
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| − | が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {''a''<sub>''n''</sub>}, {''b''<sub>''n''</sub>} は ''n'' → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
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| − | ==性質==
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| − | 正の定数 <math>c > 0</math> に対し
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| − | {{Indent|<math>M(ca,cb)=c M(a,b)</math>}}
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| − | が成り立つ。
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| − | この数列の収束は
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| − | {{Indent|<math>|a_{n+1}-b_{n+1}| = \frac{(a_n-b_n)^2}{2(\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n})^2} \leq C(a_n-b_n)^2</math>}}
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| − | を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。
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| − | また次のことが知られている。
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| − | {{Indent|<math> \frac{\pi}{2} =
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| − | M(1,\sqrt{1-k^2}) \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}.
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| − | </math>}}
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| − | 右辺の積分は、[[楕円積分]]であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、[[数値解析|数値計算]]による[[円周率]]の計算に用いられることがある。
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| − | == 証明 ==
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| − | 複素数 <math>a,\ b</math> の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。
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| − | {{Indent|<math>a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_n+b_n)(a_n-b_n)</math><br />
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| − | <math>a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right)^2-a_nb_n=\frac{(a_n-b_n)^2}{4}</math>}}
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| − | <math>\left|a_n-b_n\right|<\left|a_n+b_n\right|</math>となるように <math>b_n</math> の根号の符号を決めると約束したので、
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| − | {{Indent|<math>\frac{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}=\frac{\left|a_n-b_n\right|}{4\left|a_n+b_n\right|}<\frac{1}{4}</math>}}
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| − | である。<math>d_n</math> を <math>a_n</math> の階差とすれば
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| − | {{Indent|<math>d_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{a_n-b_n}{2}</math><br />
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| − | <math>\frac{\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_n\right|}=\frac{\sqrt{\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt{\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}<\frac{1}{2}</math>}}
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| − | である。したがって、級数 <math>\sum{d_n}</math> は絶対収束する。すなわち、数列 <math>\{a_n\}</math> は収束し、数列 <math>\{b_n=2a_{n+1}-a_n\}</math> は <math>\{a_n\}</math> と同じ値に収束する。
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| − | 算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、<math>a,\ b</math> は正の実数とする。
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| − | {{Indent|<math>\begin{align}I(a,b)
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| − | &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}}\\
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| − | &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}\\
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| − | &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{{\cos^2\theta}\sqrt{(a^2+b^2\tan^2\theta)(1+\tan^2\theta)}}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | <math>x=\tan\theta</math> と置換すると、
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| − | {{Indent|<math>\begin{align}I(a,b)
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| − | &=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a^2+b^2x^2)(1+x^2)}}\\
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| − | &=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+b^2x^4+a^2}}\\
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| − | &=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a+b)^2x^2+(bx^2-a)^2}}\\
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| − | &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{bx^2-a}{2x}\right)^2}}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | <math>t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x}</math> と置換することによって、
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| − | {{Indent|<math>x=\sqrt{ab}\;t+\sqrt{ab+abt^2},\quad dx=\left(\sqrt{ab}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab+abt^2}}\right)dt=\frac{x}{\sqrt{1+t^2}}dt</math><br />
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| − | <math>\begin{align}I(a,b)
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| − | &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
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| − | &=\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{\left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abt^2\right)\left(1+t^2\right)}}\\
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| − | &=I\left(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\right)
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | となる。したがって、
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| − | {{Indent|<math>\begin{align}I(a,b)
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| − | &=I(a_1,b_1)=\lim_{n\to\infty}I(a_n,b_n)=\lim_{n\to\infty}I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\
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| − | &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{M(a,b)^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}=\frac{\pi}{2M(a,b)}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | <math>a,\ b</math> が複素数である場合は、積分路 <math>t=\frac{bx^2-a}{2\sqrt{ab}\;x}</math> と実軸との間に（[[留数]]をもつ）[[特異点|極]]がないことを確かめなければならない。
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| − | <math>u=\real\left(b/a\right)</math>, <math>v=\image\left(b/a\right)</math> とすれば、
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| − | {{Indent|<math>\begin{align}\frac{t}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}}
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| − | &=\frac{(b/a)x^2-1}{(1+b/a)x}=\frac{(u+iv)x^2-1}{(1+u+iv)x}\\
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| − | &=\frac{(ux^2-1+ivx^2)(1+u-iv)}{\left((1+u)^2+v^2\right)x}\\
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| − | &=\frac{(u+u^2+v^2)x^2-(1+u)+ivx^2+iv}{(1+2u+u^2+v^2)x}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | これに <math>x^2=\frac{1+u}{u+u^2+v^2}</math> を代入すると
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| − | {{Indent|<math>\begin{align}\frac{t}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}}
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| − | &=\frac{iv\frac{1+2u+^2+v^2}{u^2+v^2+u}}{(1+2u+u^2+v^2)\sqrt{\frac{1+u}{u+u^2+v^2}}}\\
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| − | &=\frac{iv}{\sqrt{(1+u)(u+u^2+v^2)}}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | であり、<math>u>0</math> となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 <math>\pm i\,\frac{a+b}{2}</math> の間（原点に近いところ）を通る。また、<math>u'=\real\left(\sqrt{b/a}\right)</math>, <math>v'=\image\left(\sqrt{b/a}\right)</math> とすると、
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| − | {{Indent|<math>\begin{align}t
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| − | &=\frac{\sqrt{b/a}\;x^2-\sqrt{a/b}}{2x}=\frac{(u'+iv')^2x^2-1}{(u'+iv')x}\\
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| − | &=\frac{(u'^2+v'^2)(u'+iv')x^2-(u'-iv')}{2(u'^2+v'^2)x}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | これに <math>x^2=\frac{1}{u'^2+v'^2}</math> を代入すれば
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| − | {{Indent|<math>\begin{align}t
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| − | &=\frac{iv'}{\sqrt{u'^2+v'^2}}\\
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| − | \end{align}</math>}}
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| − | であるから、積分路は極 <math>\pm{i}</math> の間を通る。
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| − | == 算術調和平均 ==
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| − | <math>|\arg(b/a)|\ne\pi</math> である複素数 <math>a,\ b</math> について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列
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| − | {{Indent|<math>a_{0}=a,\quad b_{0}=b</math><br />
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| − | <math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\quad(n\ge0)</math><br />
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| − | の極限について
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| − | <math>\operatorname{AHM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n</math>}}
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| − | である。つまり、算術調和平均は <math>a,\ b</math> の幾何平均に等しい。このことは
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| − | {{Indent|<math>a_{n+1}b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\cdot\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}=a_nb_n</math><br />
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| − | <math>\operatorname{AHM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_nb_n}=\sqrt{ab}</math>}}
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| − | から明らかである。
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| − | == 調和幾何平均 ==
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| − | <math>|\arg(b/a)|\ne\pi</math> である複素数 <math>a,\ b</math> について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列
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| − | {{Indent|<math>a_{0}=a,\quad b_{0}=b</math><br />
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| − | <math>a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\quad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\quad(n\ge0)</math><br />
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| − | の極限について
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| − | <math>\operatorname{HGM}(a,b)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n</math>}}
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| − | である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、<math>a_n,\ b_n</math> を逆数にして
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| − | {{Indent|<math>(1/a_{n+1})=(1/a_n)+(1/b_n),\quad (1/b_{n+1})=\sqrt{(1/a_n)(1/b_n)}</math><br />
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| − | <math>\operatorname{HGM}(a,b)=\frac{1}{\operatorname{AGM}\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)}=\frac{ab}{\operatorname{AGM}\left(b,a\right)}</math>}}
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| − | から明らかである。
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| − | ==関連項目==
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| − | *[[平均]]
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| | {{DEFAULTSORT:さんしゆつきかへいきん}} | | {{DEFAULTSORT:さんしゆつきかへいきん}} |