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| | |isbn = 4-563-02195-4 | | |isbn = 4-563-02195-4 |
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| − | }}</ref>）は、[[結晶構造]]の[[対称性]]を記述するのに用いられる[[群 (数学)|群]]である。群の元となる対称操作は、[[点群]]での対称操作（[[恒等操作]]、[[回転操作]]、[[鏡映操作]]、反転操作、回映操作、回反操作）に加え、並進操作（すべての点を平行に移動させる操作）である。 | + | }}</ref>） |
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| − | 空間群は全部で230種類あり、すべての[[結晶]]はそのうちの1つに属している。ただし、[[原子]]の配列は原子の性質や[[化学結合]]によるため、大半の結晶構造は100種類程度の空間群に含まれる。
| + | 数学的には、運動群の離散な部分群でn個の独立な平行移動を含むものをn次元の結晶群といい、三次元結晶群を空間群という。二次元結晶群は平面群である。物質の結晶構造において、原子配列にみられる対称を表現するのに用いられ、回転、回反（回転＋反射）、螺旋（らせん）（回転＋並進）、映進（反射＋並進）の組合せに従って、結晶で可能な空間群は230種類ある。各空間群には、空間格子の種類と必要な対称要素を示す国際的に定められたヘルマン‐モーガンHermann-Mauguinの記号が与えられている。別にシェーンフリースSchoenfliesの記号が用いられることもあるが、これには空間群の特徴を表現できない欠点がある。 |
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| − | 空間群を記述する方法には、[[ヘルマン・モーガン記号]]([[w:H-M symbol|Hermann-Mauguin]])と[[シェーンフリース記号]](Schoenflies)の2つがある。
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
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| − | ==シンモルフィック空間群==
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| − | 230種類の空間群は「シンモルフィック空間群」と「ノンシンモルフィック空間群」に分類することができる。並進操作と両立する点群（結晶点群）に並進操作を加えて新しい集合（空間群）を作ることを考える。
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| − | まず、単純な並進操作と結晶点群を組み合わせによってできる群を'''シンモルフィック空間群'''(または共型空間群)と呼び、73種類ある。また、結晶点群に並進操作を加えることで、回転や鏡映などの対称操作に部分的な並進操作が加わって「らせん操作」や「映進操作（グライド操作）」といった新しい対称操作も生まれる。この新しい対称操作との組み合わせによってできる群を'''ノンシンモルフィック空間群'''(または非共型空間群)と呼び、157種類ある。
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| − | == 空間群の構造とその表現 ==
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| − | === ザイツ記号 ===
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| − | 空間群における対称操作は、回転操作{{Mvar|α}}と並進操作{{Mvar|b}}が組み合わさっている。この操作を({{Mvar|α}}|{{Mvar|b}})と表す。これを[[フレデリック・ザイツ|ザイツ]]記法(Seitz notation)、ザイツ記号(Seitz symbol)などと呼ぶ。回転なしの単なる並進を表す時は、{{Mvar|α}}の代わりに{{Mvar|ε}}を用いて({{Mvar|ε}}|{{Mvar|b}})と表す。
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| − | :<math>(\alpha|b)\boldsymbol r =\alpha\boldsymbol r +b</math> | |
| − | === 並進群 ===
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| − | 基本並進ベクトル<math>\bold{t}_n = n_1\bold{t}_1+n_2\bold{t}_2+n_3\bold{t}_3</math>だけ結晶をずらす操作を並進操作と呼び、({{Mvar|ε}}|{{Mvar|'''''t'''''<sub>n</sub>}})と表記する。
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| − | 並進操作の集まりは群をなし、[[並進群]]と呼ばれる。
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| − | 並進群は3つの[[巡回群]]の[[直積]]である。
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| − | :<math>T = T_1 \times T_2 \times T_3</math>
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| − | | |
| − | 並進群の既約表現は全て1次元であり、空間群に属する操作が作用する[[逆格子空間]]のベクトルを{{Mvar|'''k'''}}とすると、<math>\exp{(i\bold{k}\cdot\bold{t_n})}</math>と表される。
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| − | === k点群 ===
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| − | 空間群{{Mvar|G}}は、次のように[[並進群]]{{Mvar|T}}を法として[[剰余類]]に分解することができる。並進群は空間群の[[正規部分群]]([[不変部分群]])であり、右剰余類と左剰余類は一致する。
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| − | :<math>G=(\varepsilon|0)T+(\alpha|u_\alpha)T+(\beta|u_\beta)T+\cdots</math>
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| − | この{{Mvar|ε、α、β…}}は[[結晶点群]]になる。これを'''空間群{{Mvar|G}}の点群'''と呼ぶ。ある{{Mvar|T}}が与えられたとき、その{{Mvar|T}}をもつ空間群の点群は、その{{Mvar|T}}の[[晶系]]に属する点群に限られる。
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| − | [[ブリルアンゾーン]]の対称性の良い点{{Mvar|'''k'''}}では、{{Mvar|'''k'''}}≅{{Mvar|α'''k'''}}(ただし≅は[[逆格子ベクトル]]だけの違いは許すことを表す)となる回転操作{{Mvar|α}}が存在する。このような回転操作{{Mvar|α}}は点群を形成する（数学的には[[小群]]や[[固定部分群]]などと呼ばれる）。この点群{{Mvar|P<sub>k</sub>}}を'''{{Mvar|k}}点群'''と呼ぶ。
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| − | === k群・kの星 ===
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| − | 空間群を並進群を法として剰余類分解し、さらに{{Mvar|k}}点群{{Mvar|P<sub>k</sub>}}に属する回転操作{{Mvar|α}}を持つ剰余類だけを集めてできた{{Mvar|G}}の[[部分群]]{{Mvar|G<sub>k</sub>}}を'''{{Mvar|k}}群'''（または[[小群]]）と呼ぶ。並進群{{Mvar|T}}は、{{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}の不変部分群になっている。
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| − | {{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}を法として空間群{{Mvar|G}}を剰余類に分解すると、
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| − | :<math>G=\sum_\beta(\beta|u_\beta)G_k</math>
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| − | ここで{{Mvar|γ}}≠{{Mvar|β}}ならば、{{Mvar|γ'''k'''}}≇{{Mvar|β'''k'''}}である。この{{Mvar|βk}}の集合を'''{{Mvar|k}}の星'''と呼ぶ（数学的には[[群作用#軌道と等方部分群|軌道]]と呼ばれる）。
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| − | {{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}の[[既約表現]]（小表現と呼ばれる）{{Mvar|D<sup>k</sup>}}を求める際は、以下の3パターンに分けて考える必要がある。
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| − | #{{Mvar|k}}がブリルアンゾーンの内部の点である。
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| − | #{{Mvar|k}}がブリルアンゾーンの境界にあり、空間群{{Mvar|G}}がシンモルフィックである。
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| − | #{{Mvar|k}}がブリルアンゾーンの境界にあり、空間群{{Mvar|G}}がノンシンモルフィックである。
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| − | 1と2の場合は、{{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}に属する元({{Mvar|β}}|{{Mvar|b}})の回転部分{{Mvar|β}}のみを集めて得られる{{Mvar|k}}点群の表現を{{Mvar|Γ}}({{Mvar|β}})とすると、以下のように求まる。
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| − | :<math>D^k((\beta|b))=\exp(i\bold{k}\cdot\bold{b})\Gamma(\beta)</math>
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| − | 3の場合は、通常の表現（[[線型表現]]）ではなく[[斜線表現]]（または{{仮リンク|射影表現|en|Projective representation}}とも言う）を用いる必要がある。
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| − | {{Mvar|k}}群{{Mvar|G<sub>k</sub>}}の既約表現が得られれば、その{{仮リンク|誘導表現|en|Induced representation}}として空間群の既約表現を得ることができる。
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| − | == 脚注 ==
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| − | {{脚注ヘルプ}}
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| − | {{Reflist}}
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| − | == 参考文献 ==
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| − | * 柳瀬章 『空間群のプログラム TSPACE』 裳華房、1995年。ISBN 4-7853-2908-4。
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| − | * 犬井鉄郎, 田辺行人, 小野寺嘉孝 『応用群論―群表現と物理学―』 裳華房、1980年。ISBN 4-7853-2801-0。
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| − | * 今野豊彦 『物質の対称性と群論』 共立出版、2001年。ISBN 4-320-03409-0。
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| − | == 外部リンク ==
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| − | * [http://www.sci.hokudai.ac.jp/mineral/index.php/%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%BE%A4%E4%B8%80%E8%A6%A7 空間群一覧]([[北海道大学]]大学院理学研究院自然史科学部門地球惑星システム科学地球惑星物質学グループのホームページ)
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[結晶構造]]
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| − | * [[点群]]、[[文様群]]
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| − | {{Sci-stub}}
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| | {{デフォルトソート:くうかんくん}} | | {{デフォルトソート:くうかんくん}} |
| | [[Category:結晶学]] | | [[Category:結晶学]] |