|
|
| 1行目: |
1行目: |
| − | {{Unreferenced|date=October 2009}}
| + | (diréct súm) |
| | | | |
| − | [[位相空間論]]および関連した[[数学]]の分野において、[[位相空間]]の族の'''非交和''' (disjoint union)（次のようにも呼ばれる： '''直和''' (direct sum)、'''自由和集合''' (free union)、'''自由和''' (free sum)、'''位相的和''' (topological sum)、あるいは'''余積''' (coproduct)）は台集合の[[非交和]]に'''非交和位相''' (disjoint union topology) と呼ばれる{{仮リンク|自然な位相|en|natural topology}}を入れることによって形成される空間である。ラフに言えば、2つ以上の空間の空間をそれぞれが孤立しているように一緒に考える。
| + | (1) 共通分のない集合の合併. |
| | | | |
| − | 名前 ''余積'' は非交和は[[積空間]]の構成の[[圏論的双対]]であるという事実に由来する。
| + | (2) 加法をもつ代数系の直積に, 成分ごとの和として和を定義したもの. |
| − | | |
| − | == 定義 ==
| |
| − | {''X''<sub>''i''</sub> : ''i'' ∈ ''I'' } を ''I'' で添え字づけられた位相空間の[[族 (数学)|族]]とする。
| |
| − | :<math>X = \coprod_i X_i</math>
| |
| − | を台集合の[[非交和]]とする。各 ''i'' ∈ ''I'' に対し、
| |
| − | :<math>\varphi_i \colon X_i \to X\,</math>
| |
| − | を（<math>\varphi_i(x)=(x,i)</math> によって定義される）'''自然な入射''' (canonical injection) とする。''X'' 上の'''非交和位相''' (disjoint union topology) は自然な入射が[[連続関数|連続]]であるような ''X'' 上の{{仮リンク|最大の位相|en|Finest topology}}（すなわち関数の族 {φ<sub>''i''</sub>} に対する{{仮リンク|終位相|en|final topology}}）として定義される。
| |
| − | | |
| − | 明示的には、非交和位相は次のように記述できる。''X'' の部分集合 ''U'' が[[開集合|開]]であることとその[[逆像|原像]] <math>\varphi_i^{-1}(U)</math> が各 ''i'' ∈ ''I'' に対して ''X''<sub>''i''</sub> において開であることは[[同値]]である。
| |
| − | | |
| − | また別の定式化は、''X'' の部分集合 ''V'' が ''X'' において開であることとその ''X<sub>i</sub>'' との共通部分が各 ''i'' に対して ''X<sub>i</sub>'' において開であることは同値であるということである。
| |
| − | | |
| − | == 性質 ==
| |
| − | 非交和空間 ''X'' は自然な入射とともに次の[[普遍性]]によって特徴づけることができる： ''Y'' が位相空間で ''f<sub>i</sub>'' : ''X<sub>i</sub>'' → ''Y'' が各 ''i'' ∈ ''I'' に対して連続写像であれば、図式の次の集合が[[可換図式|交換する]]ような''ちょうど 1 つの''連続写像 ''f'' : ''X'' → ''Y'' が存在する：
| |
| − | [[Image:Coproduct-02.png|center|Characteristic property of disjoint unions]]
| |
| − | これは非交和が[[位相空間の圏]]において[[余積]]であることを示している。上の普遍性質から写像 ''f'' : ''X'' → ''Y'' が連続であることとすべての ''i'' ∈ ''I'' に対して ''f<sub>i</sub>'' = ''f'' o φ<sub>''i''</sub> が連続であることは同値であることが従う。
| |
| − | | |
| − | 連続であることに加えて、自然な入射 φ<sub>''i''</sub> : ''X''<sub>''i''</sub> → ''X'' は[[開写像と閉写像|開かつ閉写像]]である。入射は[[位相的埋め込み]]であるので各 ''X''<sub>''i''</sub> は ''X'' の[[部分位相空間|部分空間]]として自然に考えることができるということが従う。
| |
| − | | |
| − | == 例 ==
| |
| − | 各 ''X''<sub>''i''</sub> が固定された空間 ''A'' に[[同相]]であれば、非交和 ''X'' は ''I'' に[[離散位相]]を与えて ''A'' × ''I'' と同相になる。
| |
| − | | |
| − | == 位相的性質の保存 ==
| |
| − | * [[離散空間]]のすべての非交和は離散である
| |
| − | *''分離性''
| |
| − | ** [[T0空間|T<sub>0</sub> 空間]]のすべての非交和は T<sub>0</sub> である
| |
| − | ** [[T1空間|T<sub>1</sub> 空間]]のすべての非交和は T<sub>1</sub> である
| |
| − | ** [[ハウスドルフ空間]]のすべての非交和はハウスドルフである
| |
| − | *''連結性''
| |
| − | ** 2つ以上の空でない位相空間の非交和は[[連結空間|不連結]]である
| |
| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | * [[積位相]]、双対の構成
| |
| − | * [[相対位相|部分空間位相]]とその双対[[商位相]]
| |
| − | * {{仮リンク|位相的和集合|en|topological union}}、ピースが交わるケースへの一般化
| |
| | | | |
| | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{DEFAULTSORT:ひこうわ (いそうくうかんろん)}} | | {{DEFAULTSORT:ひこうわ (いそうくうかんろん)}} |
| | [[Category:一般位相]] | | [[Category:一般位相]] |
| | [[Category:数学に関する記事]] | | [[Category:数学に関する記事]] |