特異値

行列 A の特異値（とくいち、英: Singular values）とは、A の随伴行列 A^* との積 AA^* の固有値の非負の平方根のことである。

定義

以下、

• 行列 A の随伴行列を A^*
• 行列 A の固有値を λ_i(A)
• 行列 A の特異値を σ_i(A)

と表記する。

冒頭部の定義を数学記号で書くと次のようになる。

[math] \sigma_i(A) = \sqrt{\lambda_i(AA^*)} \quad ( A \in M_{m,n}(\mathbb{R} ~~ \mathrm{or} ~~ \mathbb{C}) )[/math]

特異値は m × n の行列に対して定義される（固有値は n × n の正方行列でのみ定義される）。

行列 AA^* の性質

• 行列 AA^* は m × m のエルミート行列（あるいは対称行列）であり、かつ半正定値行列である。つまり、任意の m 次元の零でないベクトル x について以下の条件を満たす。

[math]x^*AA^*x \ge 0.[/math]

• 行列 A^*A は n × n のエルミート行列（あるいは対称行列）であり、かつ半正定値行列である。つまり、任意の n 次元の零でないベクトル y について以下の条件を満たす。

[math]y^*A^*Ay \ge 0.[/math]

よって、

• すべての固有値 λ(AA^*) および λ(A^*A) は非負の実数 λ ≥ 0 となる。
• 半正定値平方根行列がただひとつだけ存在する。

特異値の性質

注意事項： 行列式やトレースなどは正方行列に対して定義されるので m × n の行列 A に直接適用してはならない。

• 特異値 σ(A) はすべて非負の実数 σ(A) ≥ 0
• [math]\sigma_i(A) = \sigma_i(A^*)[/math]
• [math]\sigma_i(A) = \sqrt{\lambda_i(AA^*)} = \sqrt{\lambda_i(A^*A)} [/math]
• [math]\left( \sqrt{AA^*} \right)^2 x = AA^* x = \lambda_i(AA^*) x = \sigma_i^2(A) x [/math]
• [math]\sigma_i(A) = \lambda_i(\sqrt{AA^*}) = \lambda_i(\sqrt{A^*A}) [/math]

• [math] \det(AA^*) = \prod_i \lambda_i (AA^*) = \prod_{i=1}^{\min(m,n)} \sigma_{i}^2(A)[/math]
• [math] \operatorname{tr}(AA^*) = \sum_{i} \lambda_i (AA^*) = \sum_{i=1}^{\min(m,n)} \sigma_i^2 (A) [/math]

• 行列 A が m = n の正方行列の場合には以下が成り立つ。
  • [math] |\det(A)| = \prod_i \sigma_{i}(A)[/math]
  • ワイルの不等式

[math] \prod_{i=1}^k | \lambda(A) | \le \prod_{i=1}^k \sigma(A) \quad (1 \le k \le m = n)[/math]

• 行列 A が m = n の正規行列の場合には以下が成り立つ。
  • 特異値は固有値の絶対値に等しい。 [math]\sigma_i(A) = |\lambda_i(A)|[/math]

• 行列 A が m = n の半正定値対称行列（エルミート行列）の場合には以下が成り立つ。
  • 特異値は固有値に等しい。 [math]\sigma_i(A) = \lambda_i(A)[/math]

参考文献

• Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber (Mar 1, 2007), Numerical Linear Algebra, Texts in Applied Mathematics, 55, Springer, pp. 271, doi:10.1007/978-0-387-68918-0, ISBN 978-0-387-68918-0, http://link.springer.com/book/10.1007/978-0-387-68918-0/page/1 
• Mandan Lal Mehta (Nov. 2004), Random Matrices (first edition 2004 ed.), Elsevier ltd., p. 284, ISBN 0-12-088409-7, http://books.google.de/books?id=Kp3Nx03_gMwC&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false 
• [CHAFAÏ] (2009年11月). “SINGULAR VALUES OF RANDOM MATRICES (pdf)”. p. 2. . 2013年3月4日閲覧.

関連項目

• 特異値分解
• 固有値
• 行列の定値性
• 正規行列
• エルミート行列
• 対称行列