最小多項式 (線型代数学)

線型代数学において、体 F 係数の n × n 行列 A の F 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）とは、F-係数のモニック多項式 p(x) であって、p(A) が零行列となるようなものの中で次数最小のものを言う。q(A) = 0 となる F-係数多項式 q(x) は最小多項式 p(x) で割り切れる。

次の3つの主張は同値である：

1. λ ∈ F は、A の最小多項式 p(x) の根である。
2. λ ∈ F は、A の固有多項式の根である。
3. λ ∈ F は、A の固有値である。

A の最小多項式 p(x) における根 λ の重複度は、λ に対応する A のジョルダン細胞の最大次数を表す。

一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、4I_n を考える。（I_n は n 次単位行列。）この行列の固有多項式は (x − 4)ⁿ である。一方、4I_n − 4I_n = 0 であることから、最小多項式は x − 4 である。従って、n ≥ 2 ならば、4I_n の最小多項式と固有多項式は一致しない。

ケーリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。

定義

体 F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の線型変換 T に対し、

[math]I_T=\{p \in \mathbf{F}[x] \mid p(T)=0\}[/math]

とおく。ここで F[x] は、F 上の一変数多項式環を表す。[math]I_T[/math] は、F[x] の真のイデアルとなる。F は体だから F[x] は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがってとくに I_T の生成元としてモニックな多項式をとることができ、これを T の最小多項式と言う。最小多項式は、[math]I_T[/math] 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。

応用

V 上の線型変換 T が対角化可能であることと、すべてのジョルダン細胞の次数が1であることとが同値である。従って、体 F 上の有限次元ベクトル空間 V の線型変換 T が対角化可能であるための必要十分条件は、T の最小多項式が F 上で一次式の積に分解し、すべての根の重複度が1であることである。

計算法の一例

体 F 上のベクトル空間 V とその線型変換 T および V の元 v に対して、

[math] I_{T, v} = \{ p \in \mathbf{F}[t] \mid v \in \operatorname{Ker} p(T) \} = \{ p \in \mathbf{F}[t] \mid p(T)(v) = 0 \}[/math]

と定義する。これは、F[t] の自明でないイデアルとなる。[math]\mu_{T,v}[/math] を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。

この多項式は次の性質を満たす。

• [math]I_{T, v}[/math] は [math]I_T[/math] を含む。
• [math]d[/math] を、[math]v, T(v), \ldots, T^d(v)[/math] が線型独立となるような最大の自然数とする。このとき、 ある [math]\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbf{F}[/math] が存在して、

[math] \alpha_0 v + \alpha_1 T(v) + \dotsb + \alpha_n T^d (v) + T^{d+1} (v) = 0[/math]

が成り立ち、さらに

[math] \mu_{T,v} (t) = \alpha_0 + \alpha_1 t + \dotsb + \alpha_n t^d + t^{d+1}[/math]

となる。

• V のひとつの基底 {v₁, ..., v_n} を取ったとき、T の最小多項式は、すべての [math]\mu_{T,v_i}[/math] たちの公約元である。

関連項目

• 線型代数学
• 跡 (線型代数学)
• 行列式
• 固有値
• 固有多項式
• ジョルダン標準形

参考文献

• 『線型代数入門』 東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年、初版。ISBN 978-4-13-062001-7。
• Lang, Serge (2002). Algebra, 3rd rev., Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 978-1-4613-0041-0.