放物面

回転放物面

双曲放物面

双曲線放物面を示すサーフェス

放物面 (paraboloid) は、

[math] z = \frac{ x ^ 2 }{ a ^ 2} \pm \frac{ y ^ 2 }{ b ^ 2} [/math]

の一般式（複号はいずれか）もしくはその座標変換で表される二次曲面である。この式で表される放物面の、垂直面（z軸を垂直とする）に対する断面は放物線である。

そのうち、

[math] z = \frac{ x ^ 2 }{ a ^ 2} + \frac{ y ^ 2 }{ b ^ 2} [/math]

[math] z = \frac{ x ^ 2 }{ a ^ 2} - \frac{ y ^ 2 }{ b ^ 2} [/math]

で表される放物面をそれぞれ楕円放物面または長円放物面 (elliptical paraboloid)、双曲放物面 (hyperbolic paraboloid) という。水平面に対する断面はそれぞれ楕円と双曲線である。

楕円放物面で a = b の場合

[math] z = \frac{ x ^ 2 }{ a ^ 2} + \frac{ y ^ 2 }{ a ^ 2} [/math]

は、放物線の回転体である回転放物面 (paraboloid of revolution) となる。水平面に対する断面は円である。楕円放物面や長円放物面に回転放物面を含めないこともある。

利用

回転放物面に平行に入射した電磁波は、放物線の焦点へただ一点に集まるために、パラボラアンテナや反射望遠鏡の主鏡に使われている。

回転する液面は回転放物面となる。