変曲点

変曲点（へんきょくてん）とは、平面上の曲線で曲がる方向が変わる点のこと。幾何学的にいえば、曲線上で曲率の符号（プラス・マイナス）が変化する点（この点では0となる）をいう。これは幾何学的または解析学的に、次の各定義と同値である。

• その点における接線が曲線自体と交差する点。
• 曲線を関数 y=f(x)（2回連続的微分可能とする）上の点 (x, y) として表した場合に、2次導関数 f' ' (x) の符号が変化する点。
• 1次導関数 f' (x) が極値をとる点。

変曲点では2次導関数 f' ' (x) は0となる。ただし f' ' (x) = 0 であっても符号が変わらない、つまり f ' (x) が極値でなく停留点（下述）の場合には、変曲点ではない。この点の両側で f' (x) の符号は同じでなければならない。また片側では上に凸、他の側では下に凸（またはその逆）である。

変曲点で f' (x) = 0 の時は、特に停留点または鞍点という。例えば y = x³ における点(0, 0)。ただしグラフを回転すれば停留点ではない普通の変曲点となる。

なお曲率が周辺に比べて大きい点を変曲点と呼ぶことは誤用である。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Inflection Point”. MathWorld（英語）.
• inflexion point - PlanetMath.（英語）
  • Hessian and inflexion points - PlanetMath.（英語） / inflection points and canonical forms of non-singular cubic curves - PlanetMath.（英語）
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