因数定理
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初等代数学における因数定理（いんすうていり、英: factor theorem）は、多項式の因数と多項式の根を結びつける定理である。因数定理は剰余の定理の特別の場合になっている[1]。
Contents
応用
多項式の因数分解
"「多項式の因数分解」"
因数定理が一般的に応用されるのは「多項式を因数分解すること」および「多項式の根を求めること」の二つの問題であり、また因数定理の直接の帰結として、この二つの問題が本質的に等価な問題であることがわかる。
また、因数定理は多項式の既知の根を、未知の根には一切触らずに、取り除くことにも利用できる。それにより対象となる多項式の次数は下がるため、根をより求めやすくなる可能性がでてくる。指針としては以下のようなことである[3]:
- 多項式 f の根 a を「推測する」。（一般にはこれは「非常に困難」。だが、例えば有理根定理などを利用したりして、根が容易に発見できるような多項式もある）
- 因数定理によって x − a は f の因子である。
- (x − a)g(x) = f(x) となる多項式 g を、実際に f(x) の x − a による割り算を（多項式の長除法でも組立除法でも何でもいいので）実行して求める。
- 結論として、a と異なる f の任意の根が g の根である。g の次数は f より一つ下がるから、g を調べることにより残りの根を求める問題がその分だけ「簡単化」される。
多変数多項式の因数定理
f を n 個の変数 X1, X2, …, Xn の多項式、g を X1 以外の n − 1 個の変数 X2, …, Xn の多項式とする。
- 定理
- f(X1, X2, …, Xn) が X1 − g(X2, …, Xn) を因子に持つための必要十分条件は、f(g(X2, …, Xn), X2, …, Xn) = 0 となることである。
これは f, g を X1 の多項式と見れば g は X1 に関して定数であるから、一変数の場合の因数定理から従う[4]。 注目する変数を変えれば、各変数について同様の主張が成り立つ。
例えば f をヴァンデルモンドの行列式
- [math]f(X_1,X_2,\ldots,X_n) := \begin{vmatrix} 1 & X_1 & X_1^2 & \cdots & X_1^{n-1} \\ 1 & X_2 & X_2^2 & \cdots & X_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & X_n & X_n^2 & \cdots & X_n^{n-1} \end{vmatrix}[/math]
とするとき f(X2, X2, …, Xn) = 0 が明らかに成り立つから、g(X2, …, Xn) テンプレート:Coloneqq X2 として因数定理を適用すれば、f は X1 − X2 で割り切れるとわかる。同様の議論により、この f が差積 Δ(X1, X2, …, Xn) で割り切れることも言える。
例
例えば f(x) = x3 + 4x2 + 3x − 2 とすると、f(−2) = 0 が成立するから f(x) は x − (−2) で割り切れる。実際
- f(x) = (x + 2)(x2 + 2x − 1)
のように因数分解できる。
注
- ↑ Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2.
- ↑ Sehgal, V K; Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
- ↑ Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.
- ↑
外部リンク
- Hudson, Mark. “Polynomial Factor Theorem”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。