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| − | '''周長'''（しゅうちょう）は単純[[閉曲線]]の始点から終点までの[[長さ]]。'''周囲'''（[[ペリメーター]]、{{lang-en-short|perimeter}}) の長さのこと。英語の perimeter は周囲と周長の両方を指す。
| + | {{テンプレート:20180815sk}} __NOINDEX__ |
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| − | [[多角形]]の周長は[[四則演算]]だけで計算できるが、[[円 (数学)|円]]の周長は[[円周率]]が[[無理数]]であるため式は簡素でも[[小数点]]表記では厳密な値を表現することはできず、[[楕円]]の周長は四則演算だけでは表すことができない。
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| − | == 多角形の周長 ==
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| − | 多角形の周長は、各[[辺]]の長さの[[総和]]に等しい。特に、一辺が ''a'' の正 ''n'' 角形の周長は ''na'' である。周長の等しい2つの正 ''n'' 角形は、互いに[[合同]]である。
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| − | == 円の周長 ==
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| − | {{see also|円周}}
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| − | 円の周長 ''c'' は[[直径]]を ''d''、[[円周率]]を {{π}} とすると
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| − | :<math>c = \pi d</math> | |
| − | と表される。[[半径]]を ''r'' として
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| − | :<math>c = 2 \pi r</math>
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| − | と表される場合も多い。なお、全ての円は互いに[[相似]]であるので、周長の等しい2つの円の面積 ''S'' は等しい。''S'' は ''c'' を用いて
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| − | :<math>S = \frac{r c}{2}</math>
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| − | と表すことができる。
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| − | == 扇形の周長 ==
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| − | 半径 ''r''、中心角 ''θ''（[[ラジアン]]）(0 < ''θ'' < 2{{π}}) の[[扇形]]の周長 ''l'' は次の式で表される。
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| − | :<math>l = r \theta + 2 r = r ( \theta + 2 )</math>
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| − | == 楕円の周長 ==
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| − | {{See also|楕円#楕円の幾何学的諸量}}
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| − | [[楕円]] ''x''{{sup|2}}/''a''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}/''b''{{sup|2}} = 1 の周長lは[[長軸]]と[[短軸]]の長さ (= 2''a'', 2''b'') のみで決まるが、周長は[[楕円積分#第二種完全楕円積分|第二種完全楕円積分]]によって求めなければならない。以下に求め方の一例を示す。
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| − | :<math>l=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t} dt=2\pi a\left[ 1-\sum_{n=1}^\infty \frac{k^{2n}}{2n-1} \left\{ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right\}^2 \right] ,\left( k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \right)</math>
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| − | == その他の閉曲線の周長 ==
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| − | ;[[アステロイド (曲線)|アステロイド]]（星芒形）
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| − | :''x'' = acos{{sup|3}} ''θ'', ''y'' = asin{{sup|3}} ''θ'' の周長は 6''a''。
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| − | ;[[カージオイド]]（心臓形）
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| − | :''x'' = ''a''(1 + cos ''θ'')cos ''θ'', ''y'' = ''a''(1 + cos ''θ'')sin ''θ'' の周長は 8''a''。
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| − | ;[[フラクタル]]図形
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| − | :面積が有限でもその周長は[[無限]]である。
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| − | == 積分記号 ==
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| − | 一般に閉曲線の周長を求めるのに
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| − | :<math>\oint_C</math>
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| − | などの記号を用いて[[積分]]を行う。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | *[[ペリメーター]]
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| − | *[[楕円積分]]
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| − | *[[レムニスケート周率]]
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| − | {{DEFAULTSORT:しゆうちよう}}
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| − | [[Category:曲線]]
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| − | [[Category:幾何学]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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| − | [[Category:長さ]]
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