反対称関係
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反対称関係（はんたいしょうかんけい、antisymmetric relation）とは、集合 X に関する二項関係 R であって、次の条件を満たすものをいう。
- [math]\forall a, b \in X,\ (a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b)[/math]
すなわち、X の任意の元 a と b に対して「a から b への関係、および b から a への関係がともに成り立つならば、a = b である」ような関係のことである。この条件を反対称律という。
また、反対称律は次の条件と同値である。
- [math]\forall a, b \in X,\ (a R b \and a \ne b \Rightarrow \lnot b R a)[/math]
すなわち、反対称関係とは「a からb への関係が成り立ち、かつ a と b が等しくないならば、b から a への関係は成り立たない」ような関係であると定義してもよい。
反対称律に加え、反射律および推移律が成り立つ二項関係を、順序関係という。したがって、一般に順序関係は反対称関係である。例えば、実数における大小関係 (≤) や集合における包含関係 (⊂) は順序関係であるから、反対称関係でもある。順序関係でなく、反対称関係である関係の例としては、等号なしの大小関係 (<) が挙げられる。
反対称関係は対称関係の論理的否定ではない。対称関係でも反対称関係でもある関係（等号など）もあり、また対称関係でも反対称関係でもない関係もある。対称関係でないものは非対称関係と呼ばれる。なお、ある変換により符号が反転する性質を反対称性というが、この概念とも直接の関係はない。