区分行列

区分行列（くぶんぎょうれつ）もしくはブロック行列 (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された行列である。

区分け

例えば、4つの行列

[math] A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -1 & 4 & 1 \\ 8 & 1 & -2 \end{pmatrix} ,\quad B=\begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} , \quad C=\begin{pmatrix} -4 & 2 & 6 \end{pmatrix} ,\quad D=\begin{pmatrix} 9 & 1 \end{pmatrix} [/math]

を並べてできる 4 × 5 行列

[math] \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 & & -3 & 6\\ -1 & 4 & 1 & & 1 & 3\\ 8 & 1 & -2 & & 4 & 1\\ & & & & & \\ -4 & 2 & 6 & & 9 & 1 \end{pmatrix} [/math]

を、A, B, C, D をブロックとする区分行列と呼ぶ。ブロックは小行列とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを区分けという。

一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。A_ij たちをブロックとする区分行列

[math] \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq} \end{pmatrix} [/math]

が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。A_ij が m_i × n_j 行列である場合、この形の区分けを (m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型と呼ぶ。

区分行列の積

ふたつの区分行列

[math] A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq} \end{pmatrix} ,\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{q1} & B_{q2} & \cdots & B_{qr} \end{pmatrix} [/math]

の区分けがそれぞれ (l₁, …, l_p; m₁, …, m_q) 型、(m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型であるとき、その積 AB の (l₁, …, l_p; n₁, …, n_r) 型の区分け

[math] AB=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1r} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{p1} & C_{p2} & \cdots & C_{pr} \end{pmatrix} [/math]

の各ブロックは

[math]C_{ij}=\sum_{k=1}^q A_{ik}B_{kj}[/math]

で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。

対称区分け

正方行列 P の区分け

[math] P=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1r} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{r1} & A_{r2} & \dots & A_{rr} \end{pmatrix} [/math]

において、主対角線上のブロック A₁₁, A₂₂, … A_rr がすべて正方行列であるとき、これを対称区分けという。特に、主対角線より下のブロックが全て零行列である場合、その行列式について

[math] |P|=\prod_{k=1}^r |A_{kk}| [/math]

が成り立つ。よって、そのような P が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。

2 × 2 の区分行列の逆行列

本節では、A は正則行列、D は正方行列とし、区分行列

[math] P=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} [/math]

の逆行列を与える。

まず、行列式について、

[math]|P|=|A||D-CA^{-1}B|\,[/math]

が成り立つ。よって、P が正則であるための必要十分条件は、D − CA⁻¹B も正則であることであり、このとき逆行列は

[math] \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix} [/math]

で与えられる。D も正則な場合は

[math] \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix} [/math]

と表される。さらに C が零行列 O に等しい場合は

[math]\begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ O & D^{-1} \end{pmatrix} [/math]

となる。

参考文献

• 『数学入門辞典』岩波書店、2005年、ISBN 978-4000802093