加群の台

可換環論において、可換環 A 上の加群 M の台 (support) は [math]M_\mathfrak{p} \ne 0[/math] であるような A のすべての素イデアル [math]\mathfrak{p}[/math] の集合である。それは [math]\operatorname{Supp}(M)[/math] で表記される。

[math]\operatorname{Supp}(M)=\{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A\mid M_\mathfrak{p} \ne 0\}.[/math]

特に、M = 0 であることとその台が空であることは同値である。

• 0 → M′ → M → M′′ → 0 を A-加群の完全列とする。このとき

  [math]\operatorname{Supp}(M) = \operatorname{Supp}(M') \cup \operatorname{Supp}(M'').[/math]

• M が部分加群 M_λ の和であれば、

  [math]\operatorname{Supp}(M) = \bigcup_\lambda \operatorname{Supp}(M_\lambda).[/math]

• M が有限生成 A-加群であれば、Supp(M) は M の零化イデアルを含むすべての素イデアルの集合である。

[math]\operatorname{Supp}(M) = V(\operatorname{Ann}M)[/math]

特に、それは閉である。

• M, N が有限生成 A-加群であれば、

  [math]\operatorname{Supp}(M \otimes_A N) = \operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(N).[/math]

• M が有限生成 A-加群であり、I が A のイデアルであれば、Supp(M/IM) は I + Ann(M) を含むすべての素イデアルの集合である。

[math]\operatorname{Supp}(M/IM) = V(I + \operatorname{Ann}(M)) = V(I)\cap \operatorname{Supp}(M).[/math]

関連項目

• 随伴素因子

参考文献

• テンプレート:EGA