凸結合
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図に示される平面に三点 [math]x_1, x_2, x_3[/math] が与えられたとき、点 [math]P[/math] はそれら三点の凸結合であるが、点 [math]Q[/math] は異なる（しかし [math]Q[/math] は、それら三点のアフィン包が全空間であるために、それらのアフィン結合である）。
数学の凸幾何学の分野において、凸結合（凸けつごう、英: convex combination）とは、和が 1 となるような非負係数を持つ点（ベクトルやスカラー、あるいはより一般にアフィン空間の点）の線型結合である。
より正式に、実ベクトル空間に有限個の点 [math]x_1, x_2, \dots, x_n\,[/math] が与えられたとき、それらの凸結合は次の式で表される点である。
- [math]\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n[/math]
但し実数 [math]\alpha_i\,[/math] は [math]\alpha_i\ge 0 [/math] および [math]\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=1[/math] を満たすものである。
特別な一例として、二点の間のすべての凸結合は、それらを結ぶ線分の上に存在する。
すべての凸結合は、与えられた点の凸包の中に含まれる。
線型結合の下で閉じていないが、凸結合の下で閉じているベクトル空間の部分集合が存在する。例えば、区間 [math][0,1][/math] は凸であるが、線型結合の下では実数直線全体を生成する。また別の例として、線型結合が非負性、アフィン性（積分の総和が 1）のいずれも保存しない確率分布の凸集合が挙げられる。
他の概念
- 同様に、確率分布 [math]Y_i[/math] の凸結合 [math]X[/math] は、その成分確率分布の加重和（[math]\alpha_i[/math] には上述と同様の制限が課される）であり、次の確率密度函数を備える。
- [math]f_{X}(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f_{Y_i}(x)[/math]
関連する構成
- 錐結合は、非負係数による線型結合である。
- 加重平均は機能的には凸結合と同じであるが、記法としては異なる。加重平均の係数（重み）和は 1 である必要はないが、その代わりにその（係数）和で線型結合を明示的に割っている。
- アフィン結合は凸結合と似ているが、その係数は非負である必要はない。したがってアフィン結合は、任意の体上のベクトル空間において定義される。