共変微分

微分幾何学における共変微分（きょうへんびぶん、英: covariant derivative）とは、可微分多様体上の微分演算を言う。クリストッフェル並びにレヴィ＝チヴィタ、リッチによって導入された。局所表示をとった場合その変換規則は共変（covariant）となる。

概要

テンソルに対する接続を考慮したもので、テンソルの共変成分の階数を一つ上げる微分演算を共変微分（covariant derivative）と呼ぶ。

共変微分は、テンソルの和の共変微分、積の共変微分に関して、普通の偏微分と全く同じ法則に従う。

共変微分と偏微分の表記方法

共変微分は大抵の場合、ナブラ [math]\nabla[/math] と偏微分記号を用いて

[math]\nabla_j w_i = \frac{\partial w_i}{\partial x^j} - \sum_a \Gamma^a_{j i} w_a[/math]

と表記するが、簡便記法としてナブラ記号と偏微分記号を落として、代わりにセミコロンとコロンを添字に補って共変微分と偏微分を表す、すなわち

[math]w_{i ; j} = w_{i , j} - \sum_a \Gamma^a_{j i} w_a[/math]

というように表すことがよくある。

定義

M を可微分多様体 、M 上のある点における座標系を(x^h) (1 ≦ h ≦ n)、 M 上滑らかなベクトル場の集合を [math]\mathfrak{X}(M)[/math] とする。

ベクトル場に対する共変微分

M 上のベクトル場に対する共変微分 (covariant derivative) とは、写像

[math]\nabla \colon \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}(M); \;\; (X,Y) \longmapsto \nabla_X Y[/math]

であって、次の四条件

1. [math]\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_X Y_1 + \nabla_X Y_2[/math]
2. [math]\nabla_{(X_1 + X_2)} = \nabla_{X_1} Y + \nabla_{X_2} Y[/math]　（双線型性）
3. [math]\nabla_{fX} Y = f \nabla_X Y[/math]
4. [math]\nabla_X(fY) = (Xf)Y + f\nabla_X Y[/math]　（ライプニッツ則）

を満たすものを言う。なお、共変微分は可微分多様体の接続 (connection) の条件とみなせることから、[math]\nabla[/math] は M 上のアフィン接続 (affine connection) とも呼ばれる。

双対ベクトル場（微分形式）に対する共変微分

M 上の双対ベクトル場（微分形式）を ω とする。ω に対するベクトル場 X による共変微分 [math]\nabla_X \omega[/math] をベクトル場の共変微分を用いて以下

[math]\langle\nabla_X \omega, Y\rangle = X\langle\omega , Y\rangle - \langle\omega, \nabla_X Y\rangle[/math]

のように定義する。

なお、二つのテンソル F, H のテンソル積 [math]F \otimes H[/math] のベクトル場 X による共変微分について次の性質

[math]\nabla_X (F \otimes H) = (\nabla_X F) \otimes H + F \otimes (\nabla_X H)[/math]

が成り立つ。

接続係数と共変微分の局所表示

座標系 (x^h) に関し、n³ 個の C^∞ 関数 [math]\Gamma_{i j}^{k}[/math]（1 ≦ i, j, k ≦ n）を

[math]\nabla_i \frac{\partial}{\partial x^j} \left( = \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j} \right) = \sum_k \Gamma_{i j}^k \frac{\partial}{\partial x^k}[/math]

によって定義する。この関数の集まり [math]\left\{ \Gamma_{i j}^k \right\}[/math] を、共変微分 [math]\nabla[/math] の [math]\left\{ \frac{\partial}{\partial x^i} \right\}[/math] に関する接続係数 (connection coefficients) と呼ぶ。

ここで、ベクトル場

[math]X = \sum X^i \frac{\partial}{\partial x^i}, \;\;\; Y = \sum Y^i \frac{\partial}{\partial x^i}[/math]

に対して、X による Y の共変微分 [math]\nabla_X Y[/math] は共変微分の規則を用いて展開することで、

[math]\nabla_X Y = \sum_{i, j} X^i \nabla_i Y^j \frac{\partial}{\partial x^j} [/math]

ただし、ここで [math]\nabla_i Y^j = \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} + \sum_k \Gamma_{i k}^j Y^k[/math]

という表現、すなわち共変微分の局所表現を得る。

さらに、接続係数の定義と微分形式に対する共変微分の定義から

[math]\left\langle\nabla_k \mathrm{d}x^i , \frac{\partial }{\partial x^j}\right\rangle = \frac{\partial \delta_j^i}{\partial x^k} - \left\langle\mathrm{d}x^i , \nabla_k \frac{\partial }{\partial x^j}\right\rangle= -\left\langle\mathrm{d}x^i , \sum_l \Gamma_{k j}^{l}\frac{\partial }{\partial x^l}\right\rangle = -\sum_l \Gamma_{k j}^l \delta_l^i = -\Gamma_{k l}^i[/math]

が導かれることから、双対基底と接続係数の関係

[math]\nabla_k \mathrm{d}x^i = -\sum_j \Gamma_{k j}^i \mathrm{d}x^j[/math]

が得られる。したがって、微分形式

[math]W = \sum_i W_i \mathrm{d}x^i[/math]

のベクトル場 X による共変微分の局所表現は、

[math]\nabla_k W_i = \frac{\partial W_i}{\partial x^k} - \sum_j \Gamma_{k i}^j W_j[/math]

となる。

リーマン多様体上で成り立つ性質

可微分多様体 M をリーマン多様体とする。すなわち、M の各点に基本計量テンソル [math]g_{ij}[/math] が与えられており、接続の記号 [math]\Gamma_{\mu \nu}^{\lambda}[/math] はクリストッフェル記号 [math]\left\{ { {\lambda}\atop{\mu \nu} } \right\}[/math] であるとする。

リッチの補定理

基本計量テンソルの共変微分に関して、次の恒等式が成り立つ。

[math]\nabla_j g_{ih} = 0 , \;\;\; \nabla_j g^{ih} = 0 [/math]（リッチの補定理）

リッチの公式

r 階共変テンソルを [math]S_{i_1 i_2 \cdots i_r}[/math] とする。このとき次のリッチの公式が成り立つ。

[math]\nabla_k \nabla_j S_{i_1 i_2 \cdots i_r} - \nabla_j \nabla_k S_{i_1 i_2 \cdots i_r} = - \sum_{p=1}^r \sum_a R_{k j i_p}{}^a S_{i_1 i_2 \cdots a \cdots i_r}[/math]（リッチの公式）

ただし、[math]R_{k j h}{}^a[/math] はリーマン曲率テンソル。

共変微分によるベクトル解析

勾配（gradient）

スカラー f の共変微分は f の方向微分に他ならない。そこで、1階共変ベクトルであるスカラー f の x^j 方向の共変微分 [math]\nabla_j f[/math]

[math]\nabla_{j} f = \frac{\partial f}{\partial x^j}[/math]

をベクトル解析に倣い勾配（gradient）と呼ぶ。

発散（divergence）

反変ベクトルの発散

一つの反変ベクトル v^k の x^j 方向の共変微分 [math]\nabla_j v^k[/math] は1階共変、1階反変の混合テンソルであるが、これから作ったスカラー

[math]\sum_a \nabla_a v^a = \sum_a \frac{\partial v^a}{\partial x^a} + \sum_a \left\{ { { a }\atop{ a i } } \right\}v^i[/math]

を、反変ベクトル v^k の発散（divergence）と呼ぶ。

回転（rotation）

一つの共変ベクトル w_i の x^j 方向の共変微分 [math]\nabla_j w_i[/math] は2階共変テンソルから構成された

[math]\nabla_j w_i - \nabla_i w_j = \frac{\partial v^i}{\partial x^j} -\frac{\partial v^j}{\partial x^i}[/math]

という2階共変テンソルを、w_i の回転（rotation）と呼ぶ。

ラプラシアン（Laplacian）

スカラー f から構成したスカラー

[math]\Delta_1 f = \sum_{j,i} g^{j i} (\nabla_j f)(\nabla_i f)[/math],　[math]\Delta_2 f = \sum_{j,i} g^{j i} \nabla_j \nabla_i f[/math]

をそれぞれ、ベルトラミの第一微分係数、第二微分係数と呼ぶ。なお、第二微分係数について

[math]\Delta f = \sum_{j,i} g^{j i} \nabla_j \nabla_i f[/math]

とおいて、これを f のラプラシアン（Laplacian）と呼ぶこともある。

関連項目

• クリストッフェル記号
• リーマン-クリストッフェルのテンソル
• 接続 (幾何学) - レヴィ・チヴィタ接続

参考文献

• 野水 克己 『現代微分幾何入門』 裳華房〈基礎数学選書〉、1981年。
• 茂木 勇、伊藤 光弘 『微分幾何学とゲージ理論』 共立出版、1986年。
• リーマン,リッチ,レビ=チビタ,アインシュタイン,マイヤー 『リーマン幾何とその応用』 矢野健太郎（訳）、共立出版、1971年。
• 矢野 健太郎 『微分幾何学』 朝倉書店、1949年。
• 佐武一郎 『線型代数学』 裳華房、1974年。